鳥取大学 2026年数学第III問解答・解説

1問題

鳥取大学2026年度第III問

定数

\alpha,\beta

は複素数とする。以下の問いに答えよ。

(1) 複素数

z

に対して実数

A

を

A=|z|^2+|1-\alpha z|^2

で定める。

z

が複素数全体の集合を動くとき、

A

の最小値とそのときの

z

を、

\alpha

を用いて表せ。

(2) 複素数

z

に対して実数

B

を

B=|z|^2+|1-\alpha z|^2+|1-\beta z|^2

で定める。

z

が複素数全体の集合を動くとき、

B

の最小値とそのときの

z

を、

\alpha,\beta

を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\min A=\dfrac1{1+|\alpha|^2},\quad z=\dfrac{\overline\alpha}{1+|\alpha|^2}$ 。
(2)
$\min B=2-\dfrac{|\alpha+\beta|^2}{1+|\alpha|^2+|\beta|^2}=\dfrac{2+|\alpha-\beta|^2}{1+|\alpha|^2+|\beta|^2},\quad z=\dfrac{\overline{\alpha+\beta}}{1+|\alpha|^2+|\beta|^2}$ 。

解答を見る途中式つきの解答

(1)

s=1+|\alpha|^2

とおくと

s>0

である。絶対値の二乗を展開すると

|1-\alpha z|^2=1-\alpha z-\overline{\alpha}\,\overline z+|\alpha|^2|z|^2

だから、

\begin{aligned} A&=s|z|^2-\alpha z-\overline{\alpha}\,\overline z+1\\ &=s\left|z-\dfrac{\overline{\alpha}}{s}\right|^2+1-\dfrac{|\alpha|^2}{s}\\ &=s\left|z-\dfrac{\overline{\alpha}}{s}\right|^2+\dfrac{1}{s}. \end{aligned}

A = s ∣ z ∣^{2} - α z - α z + 1 = s z - \frac{α}{s}^{2} + 1 - \frac{∣ α ∣ ^{2}}{s} = s z - \frac{α}{s}^{2} + \frac{1}{s} .

平方絶対値は0以上で、0となるのは

z=\dfrac{\overline{\alpha}}{s}

のときである。したがって

\min A=\dfrac{1}{1+|\alpha|^2},\qquad z=\dfrac{\overline{\alpha}}{1+|\alpha|^2}.

(2)

t=1+|\alpha|^2+|\beta|^2

とおくと

t>0

である。展開して平方完成すると

\begin{aligned} B&=t|z|^2-(\alpha+\beta)z-\overline{(\alpha+\beta)}\,\overline z+2\\ &=t\left|z-\dfrac{\overline{\alpha+\beta}}{t}\right|^2+2-\dfrac{|\alpha+\beta|^2}{t}. \end{aligned}

B = t ∣ z ∣^{2} - (α + β) z - (α + β) z + 2 = t z - \frac{α + β}{t}^{2} + 2 - \frac{∣ α + β ∣ ^{2}}{t} .

よって平方絶対値が0となるときに最小となり、

\min B=2-\dfrac{|\alpha+\beta|^2}{1+|\alpha|^2+|\beta|^2}=\dfrac{2+|\alpha-\beta|^2}{1+|\alpha|^2+|\beta|^2},\qquad z=\dfrac{\overline{\alpha+\beta}}{1+|\alpha|^2+|\beta|^2}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。