3群馬大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$\alpha^3=1$ かつ $\alpha\ne1$ より $\alpha^2+\alpha+1=0$。従って
$$\alpha=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2},$$
特に $\alpha$ は実数ではない。

(1) 実数 $p,q,r,s$ が $p+q\alpha=r+s\alpha$ を満たすとする。$q\ne s$ なら
$$\alpha=-\frac{p-r}{q-s}$$
は実数となり矛盾する。よって $q=s$、元の等式から $p=r$。

(2) $\alpha^2=-1-\alpha$、$\alpha^3=1$ を用いると
$$(2+\alpha)^3=8+12\alpha+6\alpha^2+\alpha^3=3+6\alpha.$$
(1)の係数の一意性により
$$a_3=3,\qquad b_3=6.$$

(3) $(2+\alpha)^n=a_n+\alpha b_n$ に $2+\alpha$ を掛けると
$$(2+\alpha)^{n+1}=(2a_n-b_n)+(a_n+b_n)\alpha.$$
(1)の一意性から
$$a_{n+1}=2a_n-b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+b_n.$$
また $(2+\alpha)^1=2+\alpha$ なので $a_1=2,b_1=1$ は整数である。漸化式の係数は整数だから、帰納法で全ての $a_n,b_n$ が整数となる。

(4) $\varepsilon=\pm1$ として $\alpha=(-1+\varepsilon i\sqrt3)/2$ と書く。このとき
$$2+\alpha=\sqrt3\left(\cos\frac\pi6+\varepsilon i\sin\frac\pi6\right).$$
ド・モアブルの定理から
$$(2+\alpha)^n=3^{n/2}\left(\cos\frac{n\pi}{6}+\varepsilon i\sin\frac{n\pi}{6}\right).$$
一方
$$a_n+\alpha b_n=\left(a_n-\frac{b_n}{2}\right)+\varepsilon i\frac{\sqrt3}{2}b_n.$$
実部と虚部を比較し、虚部の式では $\varepsilon$ を約して
$$b_n=2\cdot3^{(n-1)/2}\sin\frac{n\pi}{6}, \qquad a_n=3^{n/2}\cos\frac{n\pi}{6}+3^{(n-1)/2}\sin\frac{n\pi}{6} \quad(n\geqq1).$$
符号 $\varepsilon$ が消えるので、この式はどちらの非1立方根を選んでも同じである。