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長崎大学／2023年度／前期

2長崎大学 2023年 数学 第2問解答・解説

図形と方程式数列微分・積分の考え

難易度勝負 レベル 4/10 目安 20分編集部の評価

対象教育・経済・環境科学・水産医学科は解かない

1問題

長崎大学2023年度第2問
xyxy 座標平面上に、放物線 C:y=(x−3)2C:y=(x-3)^{2} と直線 l:y=2x+9l:y=2x+9 があり、CC と ll で囲まれた領域の周および内部を図形 FF とする。以下の問いに答えよ。

ただし、格子点とは、xx 座標、yy 座標がともに整数になる点をいう。

(1) CC と ll の 2 つの交点の xx 座標を p, q (p<q)p,\,q\ (p<q) とするとき、pp と qq の値をそれぞれ求めよ。また、図形 FF に含まれる格子点のうち、xx 座標が kk（p≦k≦qp\leqq k\leqq q、kk は整数）である格子点の個数 aka_{k} を kk の式で表せ。さらに、図形 FF に含まれる格子点の総数 NN を求めよ。

(2) 図形 FF に含まれる格子点を Q(x, y)\mathrm{Q}(x,\,y) とするとき、x+yx+y の最大値と最小値、およびそのときの Q\mathrm{Q} の座標をそれぞれ求めよ。

(3) 図形 FF に含まれる 4 つの格子点を結んでできる 1 辺の長さが 1 の正方形のうち、頂点の xx 座標が kk および k+1k+1（kk は整数）である正方形の個数を bkb_{k} とする。bk≧1b_{k}\geqq1 となる kk の値の範囲を求め、bkb_{k} を kk の式で表せ。

(4) 図形 FF に含まれる 4 つの格子点を結んでできる 1 辺の長さが 1 の正方形の面積の総和 TT を求めよ。また、図形 FF の面積を SS とするとき、TS\dfrac{T}{S} の値を求めよ。

出典：長崎大学 2023年度 前期 数学 第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    p=0, q=8p=0,\ q=8、ak=−k2+8k+1a_{k}=-k^{2}+8k+1、N=93N=93
  • (2)
    最大値 3333（Q(8, 25)\mathrm{Q}(8,\,25)）、最小値 33（Q(2, 1), (3, 0)\mathrm{Q}(2,\,1),\ (3,\,0)）
  • (3)
    1≦k≦61\leqq k\leqq6。k=1, 2k=1,\,2 のとき bk=−k2+8kb_{k}=-k^{2}+8k、3≦k≦63\leqq k\leqq6 のとき bk=−k2+6k+5b_{k}=-k^{2}+6k+5
  • (4)
    T=61T=61、TS=183256\dfrac{T}{S}=\dfrac{183}{256}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

直線 x=kx=k 上の格子点は (k−3)2≦y≦2k+9(k-3)^{2}\leqq y\leqq2k+9 の範囲にある。正方形は左右の辺が x=kx=k と x=k+1x=k+1 にあり、下の頂点の高さは 2 本の放物線の値 (k−3)2(k-3)^{2} と (k−2)2(k-2)^{2} の大きいほう以上、上の頂点は直線の値 2k+92k+9（x=kx=k 側のほうが低い）以下でなければならない。

解答

(1)

(x−3)2=2x+9(x-3)^{2}=2x+9 より x2−8x=0x^{2}-8x=0、p=0, q=8p=0,\ q=8。直線 x=kx=k 上では (k−3)2≦y≦2k+9(k-3)^{2}\leqq y\leqq2k+9 で、両端は整数だから
ak=2k+9−(k−3)2+1=−k2+8k+1. a_{k}=2k+9-(k-3)^{2}+1=-k^{2}+8k+1.
N=∑k=08(−k2+8k+1)=−204+288+9=93. N=\sum_{k=0}^{8}(-k^{2}+8k+1)=-204+288+9=93.

(2)

x=kx=k 上で x+yx+y が最大になるのは直線上の点で 3k+93k+9、最小になるのは放物線上の点で k+(k−3)2k+(k-3)^{2} である。3k+93k+9 は k=8k=8 で最大値 3333。k+(k−3)2k+(k-3)^{2} は k=0, 1, ⋯ , 8k=0,\,1,\,\cdots,\,8 で 9, 5, 3, 3, 5, ⋯9,\,5,\,3,\,3,\,5,\,\cdots となり、最小値は k=2, 3k=2,\,3 のときの 33。

よって最大値 3333（Q(8, 25)\mathrm{Q}(8,\,25)）、最小値 33（Q(2, 1), (3, 0)\mathrm{Q}(2,\,1),\ (3,\,0)）。

(3)

正方形の頂点を (k, j), (k+1, j), (k, j+1), (k+1, j+1)(k,\,j),\,(k+1,\,j),\,(k,\,j+1),\,(k+1,\,j+1) とする（0≦k≦70\leqq k\leqq7）。4 点が FF に含まれる条件は
j≧Mk=max⁡{(k−3)2, (k−2)2},j+1≦2k+9 j\geqq M_{k}=\max\{(k-3)^{2},\,(k-2)^{2}\},\qquad j+1\leqq2k+9
だから、bk=2k+9−Mkb_{k}=2k+9-M_{k}（正のとき）。(k−3)2≧(k−2)2(k-3)^{2}\geqq(k-2)^{2} となるのは k≦2k\leqq2 のときである。

・0≦k≦20\leqq k\leqq2：bk=2k+9−(k−3)2=−k2+8kb_{k}=2k+9-(k-3)^{2}=-k^{2}+8k。k=0k=0 で 00、k=1, 2k=1,\,2 で 7, 127,\,12。

・3≦k≦73\leqq k\leqq7：bk=2k+9−(k−2)2=−k2+6k+5b_{k}=2k+9-(k-2)^{2}=-k^{2}+6k+5。k=3, 4, 5, 6k=3,\,4,\,5,\,6 で 14, 13, 10, 514,\,13,\,10,\,5、k=7k=7 で負（正方形はない）。

よって bk≧1b_{k}\geqq1 となるのは 1≦k≦61\leqq k\leqq6 で、k=1, 2k=1,\,2 のとき bk=−k2+8kb_{k}=-k^{2}+8k、3≦k≦63\leqq k\leqq6 のとき bk=−k2+6k+5b_{k}=-k^{2}+6k+5。

(4)

T=7+12+14+13+10+5=61T=7+12+14+13+10+5=61。また
S=∫08{2x+9−(x−3)2} dx=∫08x(8−x) dx=836=2563. S=\int_{0}^{8}\{2x+9-(x-3)^{2}\}\,dx=\int_{0}^{8}x(8-x)\,dx=\dfrac{8^{3}}{6}=\dfrac{256}{3}.
よって TS=61⋅3256=183256\dfrac{T}{S}=\dfrac{61\cdot3}{256}=\dfrac{183}{256}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 格子点の数え上げ
  • Σの公式
  • 場合分け
  • 定積分と面積

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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