3愛媛大学 2023年 数学 第3問解答・解説

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を自然数とする。連立不等式
$$\begin{cases}y\geqq0\\ y\leqq x(2n-x)\end{cases}$$
の表す領域を $D_{n}$ とし、$D_{n}$ に属する格子点の個数を $a_{n}$ とする。ただし、座標平面上の点 $(x,\,y)$ において、$x,\,y$ がともに整数であるとき、点 $(x,\,y)$ を格子点という。

(i) $D_{2}$ を図示せよ。

(ii) $a_{2}$ を求めよ。

(iii) $k$ を $0\leqq k\leqq2n$ を満たす整数とする。$D_{n}$ と直線 $x=k$ の共通部分に属する格子点の個数を $k,\,n$ を用いて表せ。

(iv) $a_{n}$ を求めよ。

(2) 曲線 $y=2x^{2}-4x+6$ を $C$ とする。また、$p$ を正の実数とし、点 $\mathrm{P}(p,\,p^{2})$ を考える。

(i) $2p^{2}-4p+6>p^{2}$ を示せ。

(ii) 点 $\mathrm{P}$ から曲線 $C$ に引いた 2 つの接線のうち、一方の接線の傾きが 0 であるとする。このとき、$p$ の値を求めよ。さらに、2 つの接線についてそれぞれの方程式を求めよ。

(iii) 曲線 $C$ と (ii) で求めた 2 つの接線とで囲まれた図形の面積を求めよ。