7長崎大学 2023年 数学 第7問解答・解説

$z_1=e^{i\alpha},\ z_2=e^{i\beta}$ とおく。また
$$t=\frac{\beta-\alpha}{2},\qquad m=\frac{\alpha+\beta}{2}$$
とする。$0<\alpha<\beta<\pi$ より $0<t<\frac{\pi}{2}$ であり、特に $\cos t>0$ である。

(1) 積については
$$z_1z_2=e^{i(\alpha+\beta)}$$
である。また、和は
$$z_1+z_2=e^{i(m-t)}+e^{i(m+t)}=e^{im}(e^{-it}+e^{it})=2\cos t\,e^{im}$$
となる。$\cos t>0$ だから、これは絶対値 $2\cos t$、偏角 $m$ の極形式である。

(2) (1)より $z_1+z_2\ne0$ であり、
$$w=\frac{2e^{i(\alpha+\beta)}}{2\cos t\,e^{im}}=\frac{1}{\cos t}e^{im}=\sec t\,e^{im}.$$
点 $D$ の複素数は $z_1+z_2=2\cos t\,e^{im}$ なので
$$w=\frac{1}{2\cos^2t}(z_1+z_2).$$
係数 $\frac{1}{2\cos^2t}$ は正の実数である。したがって、原点から出る同じ直線上に $P,D$ があり、$O,P,D$ は同一直線上にある。

(3) $\alpha=m-t$ を用いると
$$w-z_1=e^{im}(\sec t-e^{-it})=e^{im}\left(\frac{\sin^2t}{\cos t}+i\sin t\right)=e^{im}\tan t(\sin t+i\cos t)=i\tan t\,e^{i(m-t)}=i\tan t\,z_1.$$
ここで $\tan t>0$ だから、$\overrightarrow{AP}$ は $\overrightarrow{OA}$ を $90^\circ$ 回転した向きであり、$OA\perp AP$ である。円 $C$ の半径 $OA$ に垂直な、点 $A$ を通る直線は円 $C$ の接線であるから、$AP$ は接線である。

(4) 直線 $AB$ の方向ベクトルは
$$z_2-z_1=2i\sin t\,e^{im}$$
であり、$\sin t>0$ なので、その方向角を $\theta=m+\frac{\pi}{2}$ とできる。方向角 $\theta$ の直線上の点 $A$ を通る直線に関する反射は、点 $X$ を $A+e^{2i\theta}\overline{(X-A)}$ に移す。実際、向きを $-\theta$ だけ回して直線を実軸に重ねると、反射は複素共役となる。よって $Q(v)$ について
$$\begin{aligned} v&=z_1+e^{2i\theta}(\overline w-\overline{z_1})\\ &=z_1+z_2-e^{2im}\overline w\\ &=z_1+z_2-w\\ &=\left(2\cos t-\frac{1}{\cos t}\right)e^{im} =\frac{2\cos^2t-1}{\cos t}e^{im} =\frac{\cos 2t}{\cos t}e^{im}. \end{aligned}$$$$v=z_1+e^{2i\theta }(\overline{w}-\overline{z_1})$$$$=z_1+z_2-e^{2im}\overline{w}$$$$=z_1+z_2-w$$$$=\left(2\cos t-\frac{1}{\cos t}\right)e^{im}=\frac{2{\cos }^{2}t-1}{\cos t}{e}^{im}=\frac{\cos 2t}{\cos t}{e}^{im}.$$
したがって、$Q$ が単位円 $C$ 上にある条件は
$$|v|=1\quad\text{すなわち}\quad |\cos 2t|=\cos t.$$
$x=\cos t$ とおくと $0<x<1$ であり、この条件は $|2x^2-1|=x$ となる。$2x^2-1=x$ の解は $x=1,-\frac12$ で範囲に入らず、$2x^2-1=-x$ の解は $x=\frac12,-1$ なので、範囲に入るのは $x=\frac12$ のみである。よって $t=\frac{\pi}{3}$、すなわち
$$\beta-\alpha=2t=\frac{2\pi}{3},\qquad \beta=\alpha+\frac{2\pi}{3}.$$
さらに $\beta<\pi$ より $0<\alpha<\frac{\pi}{3}$ である。