9長崎大学 2023年 数学 第9問解答・解説

ある日の朝、ある養鶏場で無作為に 9 個の卵を抽出して、それぞれの卵の重さを測ったところ、表 1 の結果が得られた。

表 1　養鶏場で抽出した 9 個の卵の重さ（単位はグラム (g)）
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 58 & 61 & 56 & 59 & 52 & 62 & 65 & 59 & 68\\ \hline\end{array}$$

この養鶏場の卵の重さは、母平均が $m$、母分散が $\sigma^{2}$ の正規分布に従うものとするとき、以下の問いに答えよ。必要に応じて正規分布表を用いてもよい。

(1) 表 1 の標本の平均を求めよ。

(2) 表 1 の標本の分散と標準偏差を求めよ。

(3) 母分散 $\sigma^{2}=25$ であるとき、表 1 の標本から、母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を、小数点第 3 位を四捨五入して求めよ。

(4) この養鶏場のすべての卵の重さからそれぞれ 10 g を引いて、50 g で割った数値は、母平均 $m_{1}$、母分散 ${\sigma_{1}}^{2}$ の正規分布に従う。このとき、$m_{1}$ と ${\sigma_{1}}^{2}$ を、それぞれ $m$ と $\sigma$ の式で表せ。また、$\sigma^{2}=25$ であるとき、表 1 の標本から、$m_{1}$ に対する信頼度 95% の信頼区間を、小数点第 3 位を四捨五入して求めよ。

(5) 次の日の朝に、$n$ 個の卵を無作為に抽出して、母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を求めることとする。信頼区間の幅が 5 以下となるための標本の大きさ $n$ の最小値を求めよ。ただし、母分散 $\sigma^{2}=25$ であるとする。