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長崎大学／2023年度／前期

8長崎大学 2023年 数学 第8問解答・解説

図形と方程式微分法ベクトル

1問題

長崎大学2023年度第8問
はじめに、図1のように xyxy 座標平面上に4点 P(0, 0)\mathrm{P}(0,\,0)、Q(2, 0)\mathrm{Q}(2,\,0)、R(2, 2)\mathrm{R}(2,\,2)、S(0, 2)\mathrm{S}(0,\,2) を頂点とする一辺の長さが2の正方形 PQRSPQRS がある。この正方形を、図2のように反時計回りに移動させる。ただし、PP が xx 軸上を点 (0, 0)(0,\,0) から点 (2, 0)(2,\,0) に毎秒1の速さで正の方向に動くと同時に、SS は yy 軸上を点 (0, 2)(0,\,2) から点 (0, 0)(0,\,0) に動くものとする。この移動で、2秒後には図3のような状態になる。
この移動を繰り返すことによって、正方形は8秒後には図1の状態に戻る。以下の問いに答えよ。ただし、(1)は答えのみでよい。

(1) 正方形が移動をはじめてから t (0≦t≦2)t\ (0\leqq t\leqq 2) 秒後における4点 PP、QQ、RR、SS の座標を、それぞれ tt を用いて表せ。

(2) 正方形が移動をはじめてから t (0≦t≦2)t\ (0\leqq t\leqq 2) 秒後における点 Q(x, y)Q(x,\,y) の速度 v⃗=(dxdt, dydt)\vec{v}=\left(\dfrac{dx}{dt},\,\dfrac{dy}{dt}\right) を求めよ。また、t=2t=\sqrt{2} のときの QQ の速さを求めよ。

(3) 正方形が移動をはじめてから t (0≦t≦2)t\ (0\leqq t\leqq 2) 秒後における点 QQ の xx 座標を f(t)f(t) とする。f(t)f(t) の最大値を求めよ。また、そのときの QQ と RR の座標を求めよ。

(4) 正方形の対角線の交点を D(x, y)D(x,\,y) とする。正方形が移動をはじめてから8秒間における点 DD は、どのような図形上にあるか説明せよ。

(5) 正方形が移動をはじめてから8秒間における点 PP の軌跡を CC とする。CC で囲まれる図形の面積 TT を求めよ。
図1は矢印付きx,y軸の第1象限に、網掛けの正方形PQRSがあり、Pは軸の交点、Qは右下、Rは右上、Sは左上にある。辺PQとPSの外側に破線の曲線と辺長2がそれぞれ記されている。
図2は矢印付きx,y軸に傾いた網掛けの正方形PQRSを示し、Pはx軸上、Sはy軸上、Qは右、Rは上にある。P付近に右向き、Sの左に下向き、Rの上に反時計回りの太い矢印が記されている。
図3は矢印付きx,y軸の第1象限に、網掛けの正方形PQRSを示す。Sは軸の交点、Pは右下、Qは右上、Rは左上にある。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら、または詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

h=4−t2h=\sqrt{4-t^{2}} とおくと、P(t, 0)\mathrm{P}(t,\,0)、S(0, h)\mathrm{S}(0,\,h) である。正方形の辺の向きから PS→=(−t, h)\overrightarrow{\mathrm{PS}}=(-t,\,h)、PQ→=(h, t)\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(h,\,t) なので、
Q=(t+h, t),R=(h, t+h) \mathrm{Q}=(t+h,\,t),\qquad \mathrm{R}=(h,\,t+h)
である。

(2)

0≦t<20\leqq t<2 では h′=−thh'=-\dfrac{t}{h} より、点 Q\mathrm{Q} の速度は v⃗=(1−th, 1)\vec{v}=\left(1-\dfrac{t}{h},\,1\right) である。t=2t=\sqrt{2} では h=2h=\sqrt{2} なので v⃗=(0, 1)\vec{v}=(0,\,1) となり、速さは 1 である。t→2−0t\to2-0 では dxdt→−∞\dfrac{dx}{dt}\to-\infty となるので、t=2t=2 に有限な速度ベクトルはない。

(3)

点 Q\mathrm{Q} の xx 座標は t+ht+h である。t2+h2=4t^{2}+h^{2}=4 から (t+h)2≦2(t2+h2)=8(t+h)^{2}\leqq2(t^{2}+h^{2})=8 であり、等号は t=h=2t=h=\sqrt{2} のときに成り立つ。したがって最大値は 222\sqrt{2} であり、そのとき Q(22, 2)\mathrm{Q}(2\sqrt{2},\,\sqrt{2})、R(2, 22)\mathrm{R}(\sqrt{2},\,2\sqrt{2}) である。

(4)

正方形の対角線の交点は D(t+h2, t+h2)\mathrm{D}\left(\dfrac{t+h}{2},\,\dfrac{t+h}{2}\right) である。最初の 2 秒は、y=xy=x 上の点 (1, 1)(1,\,1) から (2, 2)(\sqrt{2},\,\sqrt{2}) まで進み、再び (1, 1)(1,\,1) に戻る。以後の各 2 秒の動きは、正方形の中心 (1, 1)(1,\,1) のまわりの 90 度回転なので、8 秒間の軌跡は y=xy=x と x+y=2x+y=2 上の線分の和集合となる。各線分の xx 座標の範囲は 2−2≦x≦22-\sqrt{2}\leqq x\leqq\sqrt{2} である。

(5)

点 P\mathrm{P} は一辺 2 の正方形の周を一周し、囲む面積は 4 である。よって T=4T=4 である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 座標による距離
  • 内分・外分点
  • 直線の方程式
  • 軌跡
  • 合成関数の微分
  • 速度と加速度
  • ベクトルの和・差・実数倍
  • ベクトルの成分表示
  • ベクトルによる図形の考察

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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