3長崎大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) 項数から $m$ は正の整数であり、$a_n=n,\ b_n=m+1-n$ である。したがって
$$c_n=n(m+1-n)=-\left(n-\frac{m+1}{2}\right)^2+\frac{(m+1)^2}{4}.$$
$n$ は整数なので、$m$ が奇数なら頂点 $(m+1)/2$ は整数で、最大値は $(m+1)^2/4$ である。$m$ が偶数なら頂点は隣り合う二整数の中点であり、その二整数で最大となる。よっていずれの場合も最大値は $\left[ (m+1)^2/4\right]$ である。また
$$\sum_{k=1}^{m}c_k=\sum_{k=1}^{m}k(m+1-k)=(m+1)\frac{m(m+1)}2-\frac{m(m+1)(2m+1)}6=\frac{m(m+1)(m+2)}6.$$

(2) $\vec{a}=\overrightarrow{OA},\ \vec{b}=\overrightarrow{OB}$ とおくと、$|\vec{a}|=2,\ |\vec{b}|=3,\ |\vec{b}-\vec{a}|=3$ である。よって
$$9=|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}=4+9-2\vec{a}\cdot\vec{b},$$
から $\vec{a}\cdot\vec{b}=2$。$H$ は直線 $AB$ 上にあるので $\overrightarrow{OH}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})$ とおく。$OH\perp AB$ より
$$0=\overrightarrow{OH}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=(\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}))\cdot(\vec{b}-\vec{a})=-2+9t,$$
したがって $t=2/9$、$\overrightarrow{OH}=(7\vec{a}+2\vec{b})/9$。重心の位置ベクトルは $\overrightarrow{OG}=(\vec{a}+\vec{b})/3$ だから
$$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OG}=\frac{4\vec{a}-\vec{b}}9=\frac{4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}9.$$
さらに
$$GH^2=\frac{|4\vec{a}-\vec{b}|^2}{81}=\frac{16|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-8\vec{a}\cdot\vec{b}}{81}=\frac{57}{81},$$
より $GH=\sqrt{57}/9$。

(3) $F(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\log(1+x)$ とおく。$x\geqq0$ で定義され、$F(0)=0$ である。また $x>0$ では
$$F'(x)=1-x+x^2-\frac1{1+x}=\frac{x^3}{1+x}>0.$$
したがって $F$ は $x\geqq0$ で増加し、$x>0$ なら $F(x)>F(0)=0$。これは求める不等式である。

(4) $t=a+b-x$ と置換すると、$x=a$ のとき $t=b$、$x=b$ のとき $t=a$、$dx=-dt$ である。よって
$$\int_a^b f(a+b-x)\,dx=\int_b^a f(t)(-dt)=\int_a^b f(t)\,dt,$$
となり、示された。$$I=\int_1^2\frac{x^2}{x^2+(3-x)^2}\,dx$$
とおく。$1\leqq x\leqq2$ で分母は正であり、$g(x)=\dfrac{x^2}{x^2+(3-x)^2}$ とすると $g(x)+g(3-x)=1$。上で示した積分の対称性を使えば $\int_1^2g(3-x)\,dx=\int_1^2g(x)\,dx=I$ なので、
$$2I=\int_1^2\{g(x)+g(3-x)\}\,dx=\int_1^2 1\,dx=1.$$
したがって $I=1/2$。