1長崎大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) は $f'(x)$ を平方完成して最小値を $a$ で表す。(2) は内積 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を辺の長さから求め、$\mathrm{H}$ を $\mathrm{AB}$ 上の点として垂直条件で決める。(3) は底 $a$ が 1 より大きいか小さいかで不等号の向きが変わる。(4) は両辺の次数を比べると $2(n-1)$ と $n$ になる。

(1)

$f'(x)=3x^{2}-6x+a=3(x-1)^{2}+a-3$ の最小値は $a-3$ だから、$a-3=-12$ より $a=-9$。

このとき $f'(x)=3(x+1)(x-3)$ で、$f(x)$ は $x=-1$ で極大値 $f(-1)=6$、$x=3$ で極小値 $f(3)=-26$ をとる。

(2)

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とすると、$|\vec{b}-\vec{a}|^{2}=9$ より $4-2\vec{a}\cdot\vec{b}+9=9$、$\vec{a}\cdot\vec{b}=2$。

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-s)\vec{a}+s\vec{b}$ とおくと、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=0$ より
$$(1-s)(2-4)+s(9-2)=0,\qquad s=\dfrac{2}{9}.$$
$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{3}$ だから
$$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\dfrac{7}{9}\vec{a}+\dfrac{2}{9}\vec{b}-\dfrac{3}{9}\vec{a}-\dfrac{3}{9}\vec{b}=\dfrac{4}{9}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\dfrac{1}{9}\overrightarrow{\mathrm{OB}}.$$
$$\mathrm{GH}^{2}=\dfrac{1}{81}|4\vec{a}-\vec{b}|^{2}=\dfrac{64-16+9}{81}=\dfrac{57}{81}$$
より $\mathrm{GH}=\dfrac{\sqrt{57}}{9}$。

(3)

底の条件より $a>0,\ a\neq1$。真数条件より $0<x<4$。不等式は
$$\log_{a}5x\geqq\log_{a}(4-x)(x+1).$$
・$a>1$ のとき：$5x\geqq-x^{2}+3x+4$、$x^{2}+2x-4\geqq0$。$0<x<4$ と合わせて $\sqrt{5}-1\leqq x<4$。

・$0<a<1$ のとき：$x^{2}+2x-4\leqq0$。$0<x<4$ と合わせて $0<x\leqq\sqrt{5}-1$。

(4)

$f(x)$ が定数 $c$ なら左辺は $0$ で、右辺は 2 次式になり成り立たない。よって $n\geqq1$ で、左辺の次数は $2(n-1)$ である。

$n\geqq3$ と仮定すると、右辺の次数は $n$ で、$2(n-1)-n=n-2>0$ より両辺の次数が一致せず矛盾する。よって $n$ は 3 以上にならない。$n=1$ なら左辺は定数で、右辺は 2 次式なので成り立たない。したがって $n=2$ である。

$f(x)=px^{2}+qx+r\ (p\neq0)$ とおくと、$f'(x)=2px+q$ で
$$4p^{2}x^{2}+2p(2q-5)x+q(q-5)=(3p+1)x^{2}+(3q-7)x+3r-12.$$
係数を比べて $4p^{2}=3p+1$ より $(4p+1)(p-1)=0$、$p$ は整数だから $p=1$。$2(2q-5)=3q-7$ より $q=3$。$-6=3r-12$ より $r=2$。

よって $f(x)=x^{2}+3x+2$。