3愛媛大学 2026年 数学 第3問解答・解説

以下の問いに答えよ。

(1) 座標平面において、$\mathrm{A}(0,\,-2)$、$\mathrm{B}(4,\,0)$ とし、$p>0$ とする。直線 $\ell$ は、放物線 $C:y=x^{2}$ 上の点 $\mathrm{P}(p,\,p^{2})$ と線分 $\mathrm{AB}$ の内分点 $\mathrm{M}$ を通り、さらに、$\mathrm{A},\,\mathrm{B}$ を通る直線に垂直である。$\triangle\mathrm{PAM}$ と $\triangle\mathrm{PBM}$ の面積が等しいとき、次の問いに答えよ。

(i) 直線 $\ell$ の傾きを求めよ。

(ii) $p$ の値を求めよ。

(iii) $\triangle\mathrm{PAB}$ の面積を求めよ。

(iv) $\ell$ と $C$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

(2) $t>0$ とし、数列 $\{a_{n}\}$ を次の (I)、(II) で定める。

(I) 直線 $y=t$ と放物線 $y=x^{2}$ の交点を $\mathrm{A}_{1}(a_{1},\,{a_{1}}^{2})$、$\mathrm{B}_{1}(-a_{1},\,{a_{1}}^{2})$ とする。ただし、$a_{1}>0$ とする。

(II) $n=1,\,2,\,\cdots$ について、$a_{n}$ が定まっているとき、$0<a<a_{n}$ において、4 点 $\mathrm{A}_{n}(a_{n},\,{a_{n}}^{2})$、$\mathrm{B}_{n}(-a_{n},\,{a_{n}}^{2})$、$\mathrm{P}(a,\,a^{2})$、$\mathrm{Q}(-a,\,a^{2})$ を頂点とする台形の面積を $S_{n}(a)$ とし、$a$ の関数 $S_{n}(a)$ が最大となる $a$ の値を $a_{n+1}$ とする。

次の問いに答えよ。

(i) $a_{1}$ を $t$ を用いて表せ。

(ii) $S_{n}(a)$ を $a$ と $a_{n}$ を用いて表せ。

(iii) $a_{n+1}$ を $a_{n}$ を用いて表せ。

(iv) $a_{n}$ を $t$ と $n$ を用いて表せ。

(v) $T_{n}=S_{n}(a_{n+1})\ (n=1,\,2,\,\cdots)$ とする。$T_{n}$ を $t$ と $n$ を用いて表せ。

(vi) (v) で定めた $T_{n}$ について、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}T_{k}$ を $t$ と $n$ を用いて表せ。