5京都大学 2026年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=\sin(x+a),\ g(x)=\sin(x-a)$ とおくと，
$$f(x)-g(x)=2\sin a\cos x\geqq 0\quad\left(-\frac{\pi}{2}\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right).$$
また，$f(-x)=-g(x),\ g(-x)=-f(x)$ であるから，$x$ と $-x$ における縦線分を $x$ 軸のまわりに回転してできる断面積は等しい。回転断面積を $\pi Q(x)$ とおけば，体積は
$$V=2\pi\int_0^{\pi/2}Q(x)\,dx$$
である。

まず $0<a\leqq\frac{\pi}{2}$ とする。$0\leqq x\leqq a$ では $g(x)\leqq0\leqq f(x)$ であり，
$$f(x)+g(x)=2\sin x\cos a\geqq0$$
より $f(x)\geqq-g(x)$ だから，回転断面は半径 $f(x)$ の円板となり，$Q(x)=f(x)^2$ である。$a\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}$ では $0\leqq g(x)\leqq f(x)$ なので，回転断面は外半径 $f(x)$，内半径 $g(x)$ の円環となる。また
$$f(x)^2-g(x)^2=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=\sin2a\sin2x.$$
したがって
$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}Q(x)\,dx &=\int_0^a\sin^2(x+a)\,dx+\sin2a\int_a^{\pi/2}\sin2x\,dx\\ &=\frac a2+\frac{\sin2a-\sin4a}{4}+\sin2a\cos^2a\\ &=\frac a2+\frac34\sin2a. \end{aligned}$$$${\int }_0^{\pi /2}Q(x)dx={\int }_0^a{\sin }^2(x+a)dx+\sin 2a{\int }_a^{\pi /2}\sin 2xdx$$$$=\frac{a}{2}+\frac{\sin 2a-\sin 4a}{4}+\sin 2a{\cos }^{2}a$$$$=\frac{a}{2}+\frac{3}{4}\sin 2a.$$

次に $\frac{\pi}{2}<a<\pi$ とし，$b=\pi-a$ とおく。このとき $0<b<\frac{\pi}{2}$ である。$0\leqq x\leqq b$ では $g(x)\leqq0\leqq f(x)$ かつ $f(x)+g(x)=2\sin x\cos a\leqq0$ なので，$-g(x)\geqq f(x)$ となり，$Q(x)=g(x)^2=\sin^2(x+b)$ である。$b\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}$ では $g(x)\leqq f(x)\leqq0$ だから，$Q(x)=g(x)^2-f(x)^2$ であり，$\sin2b=-\sin2a$ より
$$g(x)^2-f(x)^2=\sin2b\sin2x.$$
ゆえに，上と同じ計算を $a$ の代わりに $b$ について行うと
$$\int_0^{\pi/2}Q(x)\,dx=\frac b2+\frac34\sin2b.$$

以上で $m=\min\{a,\pi-a\}$ とすれば，いずれの場合も
$$\boxed{V=2\pi\left(\frac m2+\frac34\sin2m\right)=\pi m+\frac{3\pi}{2}\sin2m}$$
を得る。