3東京慈恵会医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

$a_{2}$は$m$の1より大きい最小の正の約数である。したがって$a_{2}$は素数であり、$p=a_{2}$とおくと$p$は$m$の最小の素因数である。$m$は奇数なので、$p$と$\dfrac{m}{p}$はともに奇数である。また$\dfrac{m}{p}$は1と$m$の間にある約数だから、条件(ii)で$a_{2}=p$と$\dfrac{m}{p}$を比べることができる。$p$は1より大きい正の約数のうち最小のものなので$p\leqq\dfrac{m}{p}$、さらに条件(ii)より
$$0\leqq\dfrac{m}{p}-p\leqq3.$$
左辺は奇数どうしの差であるから偶数であり、$\dfrac{m}{p}-p=0$または$2$である。よって
$$m=p^{2}\quad\text{または}\quad m=p(p+2)$$
となる。
前者では、$m$の正の約数は$1,\,p,\,p^{2}$の3個であるから$k=3$である。後者では、$p+2$は素数でなければならない。実際、これが合成数なら、その素因数$q$は$q\leqq\sqrt{p+2}<p$を満たす。ここで$p^{2}>p+2$は$p\geqq3$から従う。この$q$は$m$の素因数となり、$p$が最小の素因数であることに反する。したがって$p+2$も素数であり、$m=p(p+2)$の正の約数は$1,\,p,\,p+2,\,p(p+2)$の4個であるから$k=4$である。
以上より$k$は3または4で、$p=a_{2}$だから
$$m=\begin{cases}a_{2}^{2}&(k=3),\\a_{2}(a_{2}+2)&(k=4).\end{cases}$$

(2)

$k=3$のとき、(1)より$m=a_{2}^{2}$である。二項定理から、任意の正の整数$n$に対して
$$(a_{2}n+1)^{a_{2}}-1=\sum_{r=1}^{a_{2}}{}_{a_{2}}\mathrm{C}_{r}(a_{2}n)^{r}.$$
$r=1$の項は$a_{2}\cdot a_{2}n=a_{2}^{2}n$で、$a_{2}^{2}$の倍数である。$r\geqq2$の各項は$(a_{2}n)^{r}$に$a_{2}^{2}$が含まれ、二項係数${}_{a_{2}}\mathrm{C}_{r}$は整数なので、やはり$a_{2}^{2}$の倍数である。したがって和全体が$a_{2}^{2}=m$の倍数となる。
検算として、展開の最低次数の項がすでに$a_{2}^{2}n$であり、残る全項にも$a_{2}^{2}$が因数として含まれるため、任意の正の整数$n$に対する結論が保たれる。