2京都大学 2026年 数学 第2問解答・解説

OA上の点とBC上の点を媒介変数で表し、内積で両線分上の点間距離を計算する。距離の実現範囲を求め、その範囲と交わらない半径を決める。

{}$\vec{u}=\overrightarrow{OA},\ \vec{v}=\overrightarrow{OB},\ \vec{w}=\overrightarrow{OC}$ とおく。各面は一辺1の正三角形なので、$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{w}=\frac12$ である。
{}$0\leqq t,s\leqq1$ として、辺$OA$上の点$P$と辺$BC$上の点$Q$をそれぞれ$\overrightarrow{OP}=t\vec{u}$、$\overrightarrow{OQ}=(1-s)\vec{v}+s\vec{w}$ と表す。辺$BC$の中点を$N$とすると、$\overrightarrow{ON}=\frac{\vec{v}+\vec{w}}2$、$\overrightarrow{NQ}=(s-\frac12)(\vec{w}-\vec{v})$ である。
{}まず、$\overrightarrow{PN}\cdot(\vec{w}-\vec{v})=t\vec{u}\cdot(\vec{w}-\vec{v})-\frac12(\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{w}-\vec{v})=0$ となる。よって$PN\perp BC$である。また、$\overrightarrow{PN}=t\vec{u}-\frac{\vec{v}+\vec{w}}2$ より、$PN^2=t^2-t+\frac34=(t-\frac12)^2+\frac12$ を得る。
{}したがって、$PN\perp NQ$、$|\vec{w}-\vec{v}|=1$ に注意すると、$PQ^2=PN^2+NQ^2=(t-\frac12)^2+(s-\frac12)^2+\frac12$ である。$0\leqq t,s\leqq1$ より$\frac12\leqq PQ^2\leqq1$ だから、辺$OA$上の点と辺$BC$上の点との距離はすべて$\frac1{\sqrt2}\leqq PQ\leqq1$ を満たす。さらに$t=s$ として$t$を$\frac12$から1まで動かすと、$PQ^2=2(t-\frac12)^2+\frac12$ は$\frac12$から1まで連続的に変化する。したがって、これらの点間距離として実現する値の範囲はちょうど$\frac1{\sqrt2}\leqq PQ\leqq1$ である。
{}半径$r$の球面が辺$BC$と共有点をもつことは、辺$OA$上のある点$P$と辺$BC$上のある点$Q$について$PQ=r$となることと同値である。よって、どの$P$を中心にしても球面が辺$BC$と共有点をもたないためには、$r$が上の距離の範囲に含まれなければよい。$r>0$ より、求める範囲は$0<r<\frac1{\sqrt2}$ または$r>1$ である。