6京都大学 2026年 数学 第6問解答・解説

最大値がkとなる札の選び方を数えて確率分布を求め、期待値の定義と組合せ和の望遠和で計算する。

袋から取り出す3枚の選び方は ${}_{n}\mathrm{C}_{3}$ 通りであり、いずれも同様に確からしい。

$X=k$ となるには、番号 $k$ の札を選び、残りの2枚を $1,2,\ldots,k-1$ から選べばよい。したがって、$3\leqq k\leqq n$ に対して
$$P(X=k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{2}}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}.$$
よって、期待値は
$$\begin{aligned} E[X]&=\sum_{k=3}^{n} kP(X=k)\\ &=\frac{1}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}\sum_{k=3}^{n}k{}_{k-1}\mathrm{C}_{2}\\ &=\frac{3}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}\sum_{k=3}^{n}{}_{k}\mathrm{C}_{3}\\ &=\frac{3\cdot{}_{n+1}\mathrm{C}_{4}}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}\\ &=\frac{3(n+1)}{4}. \end{aligned}$$$$E[X]=\sum _{k=3}^{n}kP(X=k)$$$$=\frac{1}{{}_n{\mathrm{C}}_3}\sum _{k=3}^{n}k{}_{k-1}{\mathrm{C}}_2$$$$=\frac{3}{{}_n{\mathrm{C}}_3}\sum _{k=3}^n{}_k{\mathrm{C}}_3$$$$=\frac{3\cdot {}_{n+1}{\mathrm{C}}_4}{{}_n{\mathrm{C}}_3}$$$$=\frac{3(n+1)}{4}.$$ここで、$k{}_{k-1}\mathrm{C}_{2}=3\cdot{}_{k}\mathrm{C}_{3}$ であり、また ${}_{k}\mathrm{C}_{3}={}_{k+1}\mathrm{C}_{4}-{}_{k}\mathrm{C}_{4}$ を用いて和を望遠和にした。最後の等式は $n\geqq3$ で成り立つ。