2群馬大学 2023年 数学 第2問解答・解説

解答

(1) ユークリッドの互除法を逆にたどると
$$23=20+3,\quad 20=6\cdot3+2,\quad 3=2+1 \quad\text{したがって}\quad 1=7\cdot23-8\cdot20.$$
したがって一つの解は $(x,y)=(-8,7)$。別の解との差を $(u,v)$ とすれば $20u+23v=0$。$20$ と $23$ は互いに素なので $u$ は $23$ で割り切れる。$u=23k$ とおくと $v=-20k$ となり、整数解全体は
$$\boxed{(x,y)=(-8+23k,\ 7-20k)\quad(k\text{ は整数})}.$$

(2) $461=1+20\cdot23$ だから、二項定理で
$$461^m=(1+20\cdot23)^m\equiv1+20m\cdot23\pmod{23^2}.$$
ゆえに
$$461^m-24\equiv23(20m-1)\pmod{23^2}.$$
これが $23^2$ の倍数となる条件は $20m\equiv1\pmod{23}$。$20\cdot15\equiv1\pmod{23}$ より
$$\boxed{m=15+23k\quad(k=0,1,2,\ldots)}.$$