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東北大学／2025年度

2東北大学 2025年 数学 第2問解答・解説

指数関数・対数関数数列

1問題

東北大学2025年度第2問
正の実数からなる 2 つの数列 {xn},{yn}\{x_{n}\}, \{y_{n}\} を次のように定める。

x1=2,y1=12,xn+1=(xn)5⋅(yn)2,yn+1=xn⋅(yn)6 x _ {1} = 2, \quad y _ {1} = \frac {1}{2}, \quad x _ {n + 1} = (x _ {n}) ^ {5} \cdot (y _ {n}) ^ {2}, \quad y _ {n + 1} = x _ {n} \cdot (y _ {n}) ^ {6}

このとき、以下の問いに答えよ。

(1) kk を実数とする。 an=log⁡2xn,bn=log⁡2yna_{n}=\log_{2}x_{n}, b_{n}=\log_{2}y_{n} とおく。このとき、数列 {an+kbn}\{a_{n}+kb_{n}\} が等比数列になるような k の値をすべて求めよ。

(2) 数列 {xn}\{x_{n}\} の一般項を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    k=−1, 2k=-1,\,2。
  • (2)
    xn=24n−7n−13(n≧1)x_n=2^{\frac{4^n-7^{n-1}}{3}}\quad(n\geqq1)。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

初項から a1=log⁡22=1, b1=log⁡212=−1a_1=\log_2 2=1,\ b_1=\log_2\frac12=-1 であり、対数の性質から
an+1=5an+2bn,bn+1=an+6bn. a_{n+1}=5a_n+2b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+6b_n.

(1) cn=an+kbnc_n=a_n+kb_n とおくと
c1=1−k,c2=3−5k,c3=5−27k. c_1=1-k,\qquad c_2=3-5k,\qquad c_3=5-27k.
等比数列なら c22=c1c3c_2^2=c_1c_3 であるから
(3−5k)2=(1−k)(5−27k)ならば(k−2)(k+1)=0. (3-5k)^2=(1-k)(5-27k) \quad\text{ならば}\quad (k-2)(k+1)=0.
従って候補は k=−1,2k=-1,2 である。漸化式より
an+1−bn+1=4(an−bn),an+1+2bn+1=7(an+2bn). a_{n+1}-b_{n+1}=4(a_n-b_n),\qquad a_{n+1}+2b_{n+1}=7(a_n+2b_n).
よって k=−1k=-1 と k=2k=2 はそれぞれ公比 44、公比 77 の等比数列を与え、どちらも実際に条件を満たす。

(2) 初項を用いて
an−bn=2⋅4n−1,an+2bn=−7n−1. a_n-b_n=2\cdot4^{n-1},\qquad a_n+2b_n=-7^{n-1}.
これらから
3an=2(an−bn)+(an+2bn)=4⋅4n−1−7n−1=4n−7n−1. 3a_n=2(a_n-b_n)+(a_n+2b_n) =4\cdot4^{n-1}-7^{n-1} =4^n-7^{n-1}.
従って
xn=2an=24n−7n−13(n≧1). x_n=2^{a_n}=2^{\frac{4^n-7^{n-1}}{3}}\qquad(n\geqq1).

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 対数変換
  • 等比数列

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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