II東北医科薬科大学 2024年 数学 第II問解答・解説

球を色別の移動ベクトルとして表す。復元ありでは順序つきの独立試行を分類し、復元なしでは各球の部分集合を数えて、座標の条件を色別球数の等式に置き換える。

赤球を引いた回数を $r$、青球を引いた回数を $b$、黄球を引いた回数を $q$、白球を引いた回数を $w$ とする。このとき点 $P$ の座標は
$$P=(r-q,\ b-w)$$
である。球は同色でも個体を区別する。したがって、復元ありの各回では10個の球が等確率で選ばれ、復元なしでは選ばれた球の部分集合はすべて等確率である。

(1) 復元ありで2回引く。順序を区別した球の組は全部で $10^2=100$ 通りある。点が原点に戻るには、同じ軸方向の正負の移動が1回ずつ必要である。赤球と黄球の組は
$$4\cdot2+2\cdot4=16$$
通り、青球と白球の組は
$$3\cdot1+1\cdot3=6$$
通りだから、原点に戻る組は22通りである。よって確率は
$$\frac{22}{100}=\frac{11}{50}.$$

$OP>1$ となるのは、2回とも同じ向きに進む場合、または互いに異なる軸方向へ1回ずつ進む場合である。前者の組数は
$$4^2+2^2+3^2+1^2=30$$
通りで、このとき $OP=2$ である。後者では、x軸方向の球が6個、y軸方向の球が4個あり、順序が2通りなので $2\cdot6\cdot4=48$ 通りで、このとき $OP=\sqrt2$ である。したがって
$$P(OP>1)=\frac{30+48}{100}=\frac{39}{50}.$$
同じ軸方向に正負の移動が1回ずつなら距離は0であり、以上の分類で全100通りを尽くしている。

(2) 復元ありで4回引く。原点に戻る条件は $r=q$、$b=w$ である。4回の合計から $2r+2b=4$、すなわち $r+b=2$ となるので、可能な場合は $(r,b)=(2,0),(1,1),(0,2)$ の3通りに限られる。各回は独立で、色の出る確率は赤 $4/10$、青 $3/10$、黄 $2/10$、白 $1/10$ である。
$$\begin{array}{c|c} (r,b) & \text{確率}\\ \hline (2,0) & \dfrac{4!}{2!2!}\left(\dfrac4{10}\right)^2\left(\dfrac2{10}\right)^2=\dfrac{24}{625}\\[6pt] (1,1) & 4!\left(\dfrac4{10}\right)\left(\dfrac2{10}\right)\left(\dfrac3{10}\right)\left(\dfrac1{10}\right)=\dfrac{36}{625}\\[6pt] (0,2) & \dfrac{4!}{2!2!}\left(\dfrac3{10}\right)^2\left(\dfrac1{10}\right)^2=\dfrac{27}{5000} \end{array}$$
これらは互いに重ならず、条件を満たす全場合である。よって
$$P(P=O)=\frac{24}{625}+\frac{36}{625}+\frac{27}{5000}=\frac{507}{5000}.$$

(3) 復元なしで5個引く。5個の部分集合は ${}_{10}\mathrm{C}_{5}=252$ 通りあり、各部分集合は同じ確率で選ばれる。点がy軸上にある条件は $r-q=0$、すなわち $r=q=k$ である。黄球は2個なので $k=0,1,2$ だけを調べればよい。$k=0$ では残り5個を青球・白球から選ぶ必要があるが、その合計は4個なので不可能である。$k=1$ では赤1個、黄1個を選び、残り3個を青3個・白1個から選ぶため
$${}_{4}\mathrm{C}_{1}{}_{2}\mathrm{C}_{1}{}_{4}\mathrm{C}_{3}=32$$
通り。$k=2$ では
$${}_{4}\mathrm{C}_{2}{}_{2}\mathrm{C}_{2}{}_{4}\mathrm{C}_{1}=24$$
通りである。したがって
$$P(P\text{ が }y\text{ 軸上})=\frac{32+24}{{}_{10}\mathrm{C}_{5}}=\frac{56}{252}=\frac29.$$

(4) 復元なしで6個引く。直線 $y=x$ 上にある条件は
$$r-q=b-w,$$
すなわち $r+w=b+q$ である。選んだ6個全体について $(r+w)+(b+q)=6$ なので、この条件は $r+w=3$、$b+q=3$ と同値である。赤球と白球は合わせて5個、青球と黄球も合わせて5個あるから、条件を満たす部分集合は
$${}_{5}\mathrm{C}_{3}{}_{5}\mathrm{C}_{3}=100$$
通り。全部分集合は ${}_{10}\mathrm{C}_{6}=210$ 通りである。ゆえに
$$P(P\text{ が直線 }y=x\text{ 上})=\frac{100}{210}=\frac{10}{21}.$$