1広島大学 2023年 数学 第1問解答・解説

全事象を復元抽出による順序付き4組として数え、各条件の出現回数パターンに応じて番号と位置を選ぶ。

(1) 各回でカードを戻すので、4回の結果は順序付きの組 $(X,Y,Z,W)$ で表され、その全事象は $N^4$ 通りで、どれも同様に確からしい。4つがすべて同じになる組は、共通の番号を $N$ 通りから選ぶので $N$ 通りである。したがって確率は
$$\frac{N}{N^4}=\frac{1}{N^3}.$$

(2) 4つの番号がすべて異なる組は、順に $X,Y,Z,W$ の番号を選ぶと
$$N(N-1)(N-2)(N-3)$$
通りである。よって確率は
$$\frac{N(N-1)(N-2)(N-3)}{N^4} =\frac{(N-1)(N-2)(N-3)}{N^3}.$$

(3) 3つが同じ番号で、残る1つが異なる番号となる組を数える。3つに共通する番号は $N$ 通り、異なる番号は $N-1$ 通り、異なる番号が現れる位置は4通りである。これらを決めれば組は一意に定まるので、有利な組は $4N(N-1)$ 通りである。したがって確率は
$$\frac{4N(N-1)}{N^4}=\frac{4(N-1)}{N^3}.$$

(4) ちょうど3種類の番号が現れるとき、出現回数は $2,1,1$ である。2回現れる番号を $N$ 通りから選び、残り2種類の番号を ${}_{N-1}\mathrm{C}_{2}$ 通りで選ぶ。2回現れる番号の位置を4か所から2か所選ぶ方法は ${}_{4}\mathrm{C}_{2}$ 通りであり、残り2か所に異なる2種類を並べる方法は $2!$ 通りである。よって有利な組の数は
$$N{}_{N-1}\mathrm{C}_{2}{}_{4}\mathrm{C}_{2}\,2! =6N(N-1)(N-2).$$
したがって確率は
$$\frac{6N(N-1)(N-2)}{N^4} =\frac{6(N-1)(N-2)}{N^3}.$$