4埼玉医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

色の互いに排反な場合ごとに札の条件付き確率または条件付き期待値を求め、色を引く確率で重み付けして加える。

袋の玉の個数は$r+s+t=20$であり，$r,s,t$はいずれも0以上である。赤玉・青玉・緑玉の場合は互いに重ならず，全ての玉を尽くす。ある色の玉が1個以上ある場合，その色に対応する箱の10枚の札はどれも同じ確率で選ばれる。色の個数が0の場合はその場合は起こらず，その色に対応する重み付き項を0とする。

問1では，赤玉を引いた場合に$3\leqq X\leqq17$となる札は箱Aの$3,\ldots,10$の8枚，青玉の場合は箱Bの$5,\ldots,14$の10枚，緑玉の場合は箱Cの$11,\ldots,17$の7枚である。したがって各色の場合の条件付き確率はそれぞれ$8/10,10/10,7/10$である。色の場合ごとの確率を加えると
$$P(3\leqq X\leqq17)=\frac{r}{20}\frac{8}{10}+\frac{s}{20}\frac{10}{10}+\frac{t}{20}\frac{7}{10}=\frac{8r+10s+7t}{200}.$$
よって空欄25〜28は順に$8,1,0,7$である。

問2では，2の倍数または3の倍数となる札は，箱Aでは$2,3,4,6,8,9,10$の7枚，箱Bでは$6,8,9,10,12,14$の6枚，箱Cでは$12,14,15,16,18,20$の6枚である。重なりを含む「または」の条件を各箱で重複なく列挙した。各色の場合の条件付き確率は順に$7/10,6/10,6/10$なので，
$$P(X\text{が2の倍数または3の倍数})=\frac{r}{20}\frac{7}{10}+\frac{s}{20}\frac{6}{10}+\frac{t}{20}\frac{6}{10}=\frac{7r+6s+6t}{200}.$$
よって空欄29〜31は順に$7,6,6$である。

問3では，赤玉の場合に箱Aから選ぶ札の平均は$(1+10)/2=11/2$，青玉の場合に箱Bから選ぶ札の平均は$(5+14)/2=19/2$，緑玉の場合に箱Cから選ぶ札の平均は$(11+20)/2=31/2$である。これらは各色の場合の条件付き期待値であり，色の確率で重み付けすると
$$E(X)=\frac{r}{20}\frac{11}{2}+\frac{s}{20}\frac{19}{2}+\frac{t}{20}\frac{31}{2}=\frac{11r+19s+31t}{40}.$$
この式でも個数0の色の項は0とする。よって空欄32〜39は順に$1,1,1,9,3,1,4,0$である。