2北里大学 2026年 数学 第2問解答・解説

状態別の遷移確率から確率と期待値の漸化式を作り、有限等比和で一般項を求める。最後に4状態の確率の和から$d_{n}$を導く。

操作のたびに玉は6個で保たれる。赤玉が $k$ 個のとき、赤玉を引く確率は $k/6$、白玉を引く確率は $(6-k)/6$ である。赤玉を引けば赤玉数は1個減り，白玉を引けば赤玉数は変わらない。

(1) 2回後に赤玉が3個なら，2回とも白玉を引いている。赤玉が2個となるのは，赤玉の後に白玉を引く場合と，白玉の後に赤玉を引く場合である。赤玉が1個となるには2回とも赤玉を引く。よって
$$\begin{aligned} a_2&=\left(\frac12\right)^2=\frac14,\\ b_2&=\frac36\cdot\frac46+\frac36\cdot\frac36=\frac7{12},\\ c_2&=\frac36\cdot\frac26=\frac16,\qquad d_2=0. \end{aligned}$$$$a_2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4},$$$$b_2=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}+\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}=\frac{7}{12},$$$$c_2=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{6}=\frac{1}{6},d_2=0.$$
したがって，赤玉数の期待値は
$$e_2=3a_2+2b_2+c_2=\frac{25}{12}.$$

(2) $b_{n+1}$には，赤玉が3個の状態から赤玉を引く場合と，2個の状態から白玉を引く場合が入る。また，$c_{n+1}$には，2個の状態から赤玉を引く場合と，1個の状態から白玉を引く場合が入る。したがって
$$\begin{aligned} b_{n+1}&=\frac36a_n+\frac46b_n=\frac12a_n+\frac23b_n,\\ c_{n+1}&=\frac26b_n+\frac56c_n=\frac13b_n+\frac56c_n. \end{aligned}$$$$b_{n+1}=\frac{3}{6}{a}_n+\frac{4}{6}{b}_n=\frac{1}{2}{a}_n+\frac{2}{3}{b}_n,$$$$c_{n+1}=\frac{2}{6}{b}_n+\frac{5}{6}{c}_n=\frac{1}{3}{b}_n+\frac{5}{6}{c}_n.$$
赤玉が $k$ 個のとき，次の操作後の赤玉数の期待値は
$$\frac{k}{6}(k-1)+\frac{6-k}{6}k=\frac56k.$$
各状態についてこの式を確率に従って平均すると
$$e_{n+1}=\frac56e_n.$$

(3) 赤玉が3個の状態は白玉を引いた場合に保たれるから，$a_n=(1/2)^n$。操作前を $n=0$ とおけば $b_0=0$，また $b_1=1/2$ より $p_1=3/4$ である。(2)の漸化式から
$$\begin{aligned} p_{n+1} &=\left(\frac32\right)^{n+1} \left\{\frac12\left(\frac12\right)^n+\frac23b_n\right\}\\ &=p_n+\left(\frac34\right)^{n+1}. \end{aligned}$$$$p_{n+1}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{n+1}\left\{\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n+\frac{2}{3}{b}_n\right\}$$$$=p_n+{\left(\frac{3}{4}\right)}^{n+1}.$$
したがって，$n\geqq1$ について
$$\begin{aligned} p_n&=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac34\right)^j\\ &=\frac{\frac34\left\{1-(\frac34)^n\right\}}{1-\frac34} =3\left\{1-\left(\frac34\right)^n\right\}. \end{aligned}$$$$p_n=\sum _{j=1}^n{\left(\frac{3}{4}\right)}^j$$$$=\frac{\frac{3}{4}\left\{1-(\frac{3}{4}{)}^n\right\}}{1-\frac{3}{4}}=3\left\{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^n\right\}.$$
よって
$$b_n=3\left(\frac23\right)^n-3\left(\frac12\right)^n.$$

(4) 操作前を $n=0$ とすると $c_0=0$ である。(2)を繰り返し用いると
$$c_n=\frac13\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac56\right)^{n-1-j}b_j.$$
ここに $b_j=3(2/3)^j-3(1/2)^j$ を代入し，有限等比和を計算すると
$$\begin{aligned} c_n &=\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac56\right)^{n-1-j}\left(\frac23\right)^j -\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac56\right)^{n-1-j}\left(\frac12\right)^j\\ &=6\left\{\left(\frac56\right)^n-\left(\frac23\right)^n\right\} -3\left\{\left(\frac56\right)^n-\left(\frac12\right)^n\right\}\\ &=3\left(\frac56\right)^n-6\left(\frac23\right)^n+3\left(\frac12\right)^n. \end{aligned}$$$$c_n=\sum _{j=0}^{n-1}{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1-j}{\left(\frac{2}{3}\right)}^j-\sum _{j=0}^{n-1}{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1-j}{\left(\frac{1}{2}\right)}^j$$$$=6\left\{{\left(\frac{5}{6}\right)}^n-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right\}-3\left\{{\left(\frac{5}{6}\right)}^n-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right\}$$$$=3{\left(\frac{5}{6}\right)}^n-6{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$
赤玉数は3個，2個，1個，0個のいずれかなので $a_n+b_n+c_n+d_n=1$。以上の一般項から
$$d_n=1-a_n-b_n-c_n =1-3\left(\frac56\right)^n+3\left(\frac23\right)^n-\left(\frac12\right)^n \qquad(n\geqq1).$$