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関西医科大学／2025年度／特色選抜

12関西医科大学 2025年 数学 第12問解答・解説

場合の数と確率

1問題

関西医科大学2025年度第12問
下記の問題文を読んで設問に答えなさい。
肝臓の疾患に肝炎と肝硬変があり、これらの患者は肝がんにもかかっている可能性があります。肝炎にかかっている患者の場合、肝がんにもかかっている確率は0.25%、肝硬変にかかっている患者の場合、肝がんにもかかっている確率は5%とあらかじめわかっています。
これらの肝炎や肝硬変の患者に対して超音波検査による肝がん検診が行われます。このとき、超音波検査によって、肝がんにかかっている人を陽性と判定する確率を84%、肝がんにかかっていない人を陰性と判定する確率を92%とします。なおこれらの超音波検査による確率は、肝炎であっても肝硬変であっても同じとします。
以下の設問に答えなさい。
設問56. 肝炎の患者10,000人と肝硬変の患者10,000人の中に、それぞれ肝がんにもかかっている人がどの程度含まれていると、あらかじめ予測できるか。
a. 肝炎：約21人、肝硬変：約420人
b. 肝炎：約23人、肝硬変：約460人
c. 肝炎：約25人、肝硬変：約50人
d. 肝炎：約25人、肝硬変：約500人
e. 肝炎：約250人、肝硬変：約500人
設問57. 肝炎の患者10,000人に超音波検査を行った場合、正しいのはどれか。
a. 肝炎の患者の中で肝がんであるのに検査で陰性になるのは約2人
b. 肝炎の患者の中で肝がんであり検査でも陽性になるのは約4人
c. 肝炎の患者の中で肝がんであり検査でも陽性になるのは約21人
d. 肝炎の患者の中で肝がんでなく検査で陰性になるのは約8379人
e. 肝炎の患者の中で肝がんでないのに検査で陽性になるのは約9177人
設問58. 肝硬変の患者10,000人に超音波検査を行った場合、正しいのはどれか。
a. 肝硬変の患者の中で肝がんであるのに検査で陰性になるのは約40人
b. 肝硬変の患者の中で肝がんであり検査で陽性になるのは約80人
c. 肝硬変の患者の中で肝がんであり検査でも陽性になるのは約460人
d. 肝硬変の患者の中で肝がんでないのに検査で陽性になるのは約760人
e. 肝硬変の患者の中で肝がんでなく検査でも陰性になるのは約8540人
検査で陽性だった人の中で、本当に肝がんの人が含まれる割合を陽性的中率といい、検査で陰性だった人の中で、本当に肝がんでない人が含まれる割合を陰性的中率といいます。以下の設問に答えなさい。
設問59. 肝炎の患者に超音波検査を行った場合、陽性的中率と陰性的中率で正しいのはどれか。
a. 陽性的中率は約2.6%である
b. 陽性的中率は約36%である
c. 陰性的中率は約84%である
d. 陽性的中率は約84%である
e. 陰性的中率は約92%である
設問60. 肝硬変の患者に超音波検査を行った場合、陽性的中率と陰性的中率で正しいのはどれか。
a. 陽性的中率は約5%である
b. 陽性的中率は約36%である
c. 陰性的中率は約36%である
d. 陽性的中率は約38%である
e. 陰性的中率は約92%である

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 設問56：dd（肝炎約2525人、肝硬変約500500人）。設問57：cc（約2121人）。設問58：dd（約760760人）。設問59：aa（陽性的中率約2.6%2.6\%）。設問60：bb（陽性的中率約36%36\%）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

問題文の有病率と検査の条件付き確率だけを用いて、1万人ごとの真陽性・偽陰性・真陰性・偽陽性の人数を算出し、陽性的中率・陰性的中率は該当する検査結果を条件とする確率として分母を確かめて計算した。

解答

GGを肝がん、++を検査陽性、−-を検査陰性とする。問題文より、PG(+)=0.84P_G(+)=0.84、PG‾(−)=0.92P_{\overline G}(-)=0.92であるから、PG(−)=0.16P_G(-)=0.16、PG‾(+)=0.08P_{\overline G}(+)=0.08である。

設問56では、肝炎の有病率は0.25%=0.00250.25\%=0.0025なので、10000×0.0025=2510000\times0.0025=25人。肝硬変では5%=0.055\%=0.05なので、10000×0.05=50010000\times0.05=500人。したがってdd。

肝炎の患者1000010000人について、肝がん患者は2525人、非患者は99759975人である。肝がん患者のうち陽性は25×0.84=2125\times0.84=21人、陰性は25×0.16=425\times0.16=4人。非患者のうち陰性は9975×0.92=91779975\times0.92=9177人、陽性は9975×0.08=7989975\times0.08=798人である。検算すると陽性計は21+798=81921+798=819人、陰性計は4+9177=91814+9177=9181人で、819+9181=10000819+9181=10000人。設問57で問われた「肝がんであり陽性」は2121人だからcc。各選択肢の該当数も、偽陰性は44人、真陽性は2121人、真陰性は91779177人、偽陽性は798798人と一致する。

肝硬変の患者1000010000人については、肝がん患者500500人、非患者95009500人。真陽性は500×0.84=420500\times0.84=420人、偽陰性は500×0.16=80500\times0.16=80人、真陰性は9500×0.92=87409500\times0.92=8740人、偽陽性は9500×0.08=7609500\times0.08=760人である。陽性計420+760=1180420+760=1180人、陰性計80+8740=882080+8740=8820人で、合計は1000010000人。よって設問58の「肝がんでないのに陽性」は760760人であり、dd。他の選択肢にある偽陰性4040人、真陽性8080人または460460人、真陰性85408540人はいずれも上の計算値80,420,874080,420,8740と一致しない。

陽性的中率は陽性者を分母、陰性的中率は陰性者を分母にする。肝炎ではP+(G)=2121+798=21819≒0.02564=2.56%P_{+}(G)=\dfrac{21}{21+798}=\dfrac{21}{819}\fallingdotseq0.02564=2.56\%で約2.6%2.6\%。またP−(G‾)=91779177+4=91779181≒99.96%P_{-}(\overline G)=\dfrac{9177}{9177+4}=\dfrac{9177}{9181}\fallingdotseq99.96\%。分母はいずれも該当する検査結果の人数で、819>0819>0、9181>09181>0。したがって設問59はaa。

肝硬変ではP+(G)=420420+760=4201180≒0.35593=35.6%P_{+}(G)=\dfrac{420}{420+760}=\dfrac{420}{1180}\fallingdotseq0.35593=35.6\%で約36%36\%。さらにP−(G‾)=87408740+80=87408820≒99.09%P_{-}(\overline G)=\dfrac{8740}{8740+80}=\dfrac{8740}{8820}\fallingdotseq99.09\%。分母はそれぞれ陽性者1180>01180>0、陰性者8820>08820>0である。したがって設問60はbb。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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