3岩手医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

複素数を座標で表して軌跡の円を平方完成する。偏角の範囲は原点からの接線と円の中心を結ぶ直角三角形から求め、絶対値の範囲は中心距離と半径から求める。

問1
$$\begin{aligned} |\alpha|&=\sqrt{(-3)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},\\ \cos(\arg\alpha)&=\frac{-3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(\arg\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac12. \end{aligned}$$$$|\alpha |=\sqrt{(-3{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},$$$$\cos (\arg \alpha )=\frac{-3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\sin (\arg \alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}.$$
したがって、$\alpha$ は第2象限にあり、基準角は $\frac16\pi$ だから $0\leqq\arg\alpha<2\pi$ では
$\arg\alpha=\frac56\pi$。よって
$\text{ア}=2,\ \text{イ}=3,\ \text{ウ}=5,\ \text{エ}=6$。

問2
$z=x+yi$ とおく。絶対値は非負なので、条件を2乗して
$$\begin{aligned} (x+3)^2+(y-\sqrt{3})^2 &=2\{(x+2)^2+(y-\sqrt{3})^2\},\\ x^2+2x+y^2-2\sqrt{3}y+2&=0,\\ (x+1)^2+(y-\sqrt{3})^2&=2. \end{aligned}$$$$(x+3{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=2\{(x+2{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2\},$$$$x^2+2x+y^2-2\sqrt{3}y+2=0,$$$$(x+1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=2.$$
よって $C$ は中心 $-1+\sqrt{3}i$、半径 $\sqrt{2}$ の円である。
したがって $\text{オ}=1,\ \text{カ}=3,\ \text{キ}=2$。

問3
問2より円の中心を $P(-1,\sqrt{3})$、原点を $O$ とすると
$OP=2$、半径は $\sqrt{2}$ である。$OP>\sqrt{2}$ だから $O$ は円の外部にある。
$O$ から円に引いた接線の接点を $T$ とすると $PT\perp OT$ であり、
$$OT=\sqrt{OP^2-PT^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}=PT.$$
したがって直角三角形 $OPT$ は直角二等辺三角形で、
$\angle POT=\frac14\pi$ である。また、$\overrightarrow{OP}=(-1,\sqrt{3})$ の偏角は
$\frac23\pi$。接線の方向が円周と交わる半直線の両端となり、
その間の半直線は円周と交わる。よって
$$\begin{aligned} \frac23\pi-\frac14\pi&\leqq\theta\leqq\frac23\pi+\frac14\pi,\\ \frac5{12}\pi&\leqq\theta\leqq\frac{11}{12}\pi. \end{aligned}$$$$\frac{2}{3}\pi -\frac{1}{4}\pi \leqq \theta \leqq \frac{2}{3}\pi +\frac{1}{4}\pi ,$$$$\frac{5}{12}\pi \leqq \theta \leqq \frac{11}{12}\pi .$$
したがって
$\text{ク}=5,\ \text{ケ}=1,\ \text{コ}=2,\ \text{サ}=1,\ \text{シ}=1,\ \text{ス}=1,\ \text{セ}=2$。

問4
原点と円の中心との距離は $2$、半径は $\sqrt{2}$ で $2>\sqrt{2}$。
円周上の点の原点からの距離は、中心と原点を結ぶ直線上の近い側・遠い側で
それぞれ最小・最大となる。したがって
$$2-\sqrt{2}\leqq|z|\leqq2+\sqrt{2}.$$
よって $\text{ソ}=2,\ \text{タ}=2,\ \text{チ}=2,\ \text{ツ}=2$。