3埼玉医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

領域を扇形として捉え、各回転軸に垂直な断面を円環として定積分する。

領域の不等式が同時に成り立つには $-\frac{x}{\sqrt{3}}\leqq\frac{x}{\sqrt{3}}$ が必要なので $x\geqq0$ である。$x>0$ では $-\frac{1}{\sqrt{3}}\leqq\frac{y}{x}\leqq\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ より境界の角は $\pm\frac{\pi}{6}$ であり、$D$ は半径1、中心角 $\frac{\pi}{3}$ の扇形となる。なお $x=0$ のときは $y=0$ のみである。

問1の面積は、
$$S=\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}.$$
したがって $\boxed{19}=1,\ \boxed{20}=6$ である。

問2では、固定した $y$ に対し、領域の条件から $x\geqq\sqrt{3}|y|$、円の条件から $x\leqq\sqrt{1-y^2}$ である。円の条件から $|y|\leqq1$ であり、両辺は非負なので、この断面が存在する条件は
$$\sqrt{3}|y|\leqq\sqrt{1-y^2} \quad\Longleftrightarrow\quad 3y^2\leqq1-y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{1}{2}\leqq y\leqq\frac{1}{2}.$$
回転断面は内半径 $\sqrt{3}|y|$、外半径 $\sqrt{1-y^2}$ の円環となる。したがって、
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_{-1/2}^{1/2}\left((\sqrt{1-y^2})^2-(\sqrt{3}|y|)^2\right)\,dy\\ &=\pi\int_{-1/2}^{1/2}(1-4y^2)\,dy\\ &=\pi\left[y-\frac{4}{3}y^3\right]_{-1/2}^{1/2} =\frac{2}{3}\pi. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_{-1/2}^{1/2}\left((\sqrt{1-y^2}{)}^2-(\sqrt{3}|y|{)}^2\right)dy$$$$=\pi {\int }_{-1/2}^{1/2}(1-4y^2)dy$$$$=\pi {\left[y-\frac{4}{3}{y}^3\right]}_{-1/2}^{1/2}=\frac{2}{3}\pi .$$
よって $\boxed{21}=2,\ \boxed{22}=3$ である。

問3では、回転軸に沿う座標を $t=\frac{x+\sqrt{3}y}{2}$、軸に垂直な座標を $u=\frac{-\sqrt{3}x+y}{2}$ とする。この変換は距離を保ち、$x^2+y^2=t^2+u^2$ であり、回転軸 $y=\sqrt{3}x$ は $u=0$ となる。下側の不等式から $t\geqq0$、上側の不等式から $u+\frac{t}{\sqrt{3}}=y-\frac{x}{\sqrt{3}}\leqq0$ を得る。固定した $t$ では、円の条件から $-\sqrt{1-t^2}\leqq u\leqq\sqrt{1-t^2}$、領域の条件から $u\leqq-\frac{t}{\sqrt{3}}\leqq0$ である。したがって、
$$-\sqrt{1-t^2}\leqq u\leqq-\frac{t}{\sqrt{3}}.$$
この区間が存在する条件は $\sqrt{1-t^2}\geqq\frac{t}{\sqrt{3}}$ である。両辺は非負なので二乗して整理すると $0\leqq t\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。また、この範囲では $u\leqq0$ だから回転後の断面は内半径 $\frac{t}{\sqrt{3}}$、外半径 $\sqrt{1-t^2}$ の円環である。したがって、
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_0^{\sqrt{3}/2}\left((\sqrt{1-t^2})^2-\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)^2\right)\,dt\\ &=\pi\int_0^{\sqrt{3}/2}\left(1-\frac{4}{3}t^2\right)\,dt\\ &=\pi\left[t-\frac{4}{9}t^3\right]_0^{\sqrt{3}/2} =\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)\pi =\frac{\sqrt{3}}{3}\pi. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^{\sqrt{3}/2}\left((\sqrt{1-t^2}{)}^2-{\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)}^2\right)dt$$$$=\pi {\int }_0^{\sqrt{3}/2}\left(1-\frac{4}{3}{t}^2\right)dt$$$$=\pi {\left[t-\frac{4}{9}{t}^3\right]}_0^{\sqrt{3}/2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)\pi =\frac{\sqrt{3}}{3}\pi .$$
よって $\boxed{23}=3,\ \boxed{24}=3$ である。