3久留米大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) 3次関数 $f(x)=4x^{3}+9x^{2}+6x+3$ を考える。$y=f(x)$ において、極値をとるグラフ上の2点をA, Bとする。これらの2点をいずれも通る直線の方程式は $y=-\dfrac{\boxed{\text{ヌ}}}{2}x+\dfrac{\boxed{\text{ネ}}}{2}$ である。

(2) 4次関数 $g(x)=3x^{4}-8x^{3}+12x$ について、以下の問いに答えよ。

(i) $g(x)$ を $g'(x)$ で割ると、商は $\dfrac{\boxed{\text{ノ}}}{4}x-\dfrac{\boxed{\text{ハ}}}{6}$、余りは $-\boxed{\text{ヒ}}x^{2}+\boxed{\text{フ}}x+\boxed{\text{ヘ}}$ である。

(ii) $g(x)$ は $x=\boxed{\text{ホ}}$ において極大値 $\boxed{\text{マ}}$、$x=\dfrac{\boxed{\text{ミ}}\pm\sqrt{\boxed{\text{ム}}}}{2}$ において極小値 $\dfrac{\boxed{\text{メ}}\pm\boxed{\text{モ}}\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}}{2}$ をとる。ただし、複号同順である。

(iii) $y=g(x)$ において、極値をとるグラフ上の3点をP, Q, Rとする。これらの3点をすべて通り、軸が $y$ 軸に平行な放物線の方程式は $y=-\boxed{\text{ユ}}x^{2}+\boxed{\text{ヨ}}x+\boxed{\text{ラ}}$ である。