2久留米大学 2025年 数学 第2問解答・解説

1辺の長さが1の正四面体OABCがあり、OBの中点をP、OCを $1:2$ に内分する点をQとする。また $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}\vec{b}-\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\dfrac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}\vec{c}-\vec{a}$ である。$x,\,y,\,z$ を0でない実数とし、$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=x\vec{a}+y\overrightarrow{\mathrm{OP}}+z\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ とする。内積 $\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0$ であるとき $\dfrac{z}{x}=-\boxed{\text{チ}}$ である。このとき、さらに内積 $\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=0$ であるとき $\dfrac{y}{x}=-\boxed{\text{ツ}}$ となる。

(2) 平面APQ上の点Hについて OHは平面APQと垂直であるとする。このとき、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=-\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{10}\vec{a}+\dfrac{\boxed{\text{ト}}}{10}\vec{b}+\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{10}\vec{c}$ である。

さらに、直線CHと平面OABの交点をRとすると $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{1}{\boxed{\text{ニ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ となり、ORとABは平行であることがわかる。

（図：平面APQとそれに垂直な直線OD、および直線CHと平面OABの交点Rを示した図。）