5久留米大学 2025年 数学 第5問解答・解説

断面は、原点から8方向（$45^{\circ}$ おき）に伸びる線分（長さ5が4本、$5\sqrt{2}$ が4本）から距離 $r=\sqrt{1-t^{2}}$ 以内の部分。各線分の帯の面積から、原点の近くで隣の帯と重なる部分を引き、先端の半円を足す。

(1) $z=t$ での断面は、中心が4本の線分上にある半径 $r=\sqrt{1-t^{2}}$ の円の和集合、すなわち原点から $45^{\circ}$ おきに出る8本の線分（長さ5が4本、$5\sqrt{2}$ が4本）から距離 $r$ 以内の部分である。

各線分のまわりの部分を、隣の線分との角の二等分線（線分から $22.5^{\circ}$）で区切って数える。1本の線分（長さ $L$）の片側の部分は、幅 $r$、長さ $L$ の長方形から、原点の近くの直角三角形（底辺 $r\cot\dfrac{\pi}{8}$、高さ $r$）を除いたもので、面積 $rL-\dfrac{r^{2}}{2}\cot\dfrac{\pi}{8}$。両側で $2rL-r^{2}\cot\dfrac{\pi}{8}$。先端には半円 $\dfrac{\pi r^{2}}{2}$ がつく。$\cot\dfrac{\pi}{8}=1+\sqrt{2}$ なので
$$S=2r(4\cdot5+4\cdot5\sqrt{2})-8(1+\sqrt{2})r^{2}+8\cdot\dfrac{\pi r^{2}}{2}=4\left\{10(1+\sqrt{2})r-(2+2\sqrt{2}-\pi)r^{2}\right\}.$$
$r=\sqrt{1-t^{2}}$ を代入して答えの形になる。（原点のまわりの半径 $r$ の円は、どの点も $22.5^{\circ}$ 以内に線分があるので帯に含まれる。）

(2) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^{2}}\,dt=\dfrac{\pi}{2}$、$\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-t^{2})\,dt=\dfrac{4}{3}$ より
$$V=4\left\{10(1+\sqrt{2})\cdot\dfrac{\pi}{2}-(2+2\sqrt{2}-\pi)\cdot\dfrac{4}{3}\right\}=\left(\dfrac{76}{3}+20\sqrt{2}\right)\pi-\dfrac{32}{3}(1+\sqrt{2}).$$