久留米大学 2025年数学第1問解答・解説

1問題

久留米大学2025年度第1問

(1)

x,\,y,\,a,\,b

を正の実数とする。

a^{x}=b^{y}=\sqrt{ab}\quad(a\neq1\ \text{かつ}\ b\neq1)

を満たしているとき、

a,\,b

の値によらず、

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\boxed{\text{ア}}

となる。また、

\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)(4x+y)

の最小値は

\boxed{\text{イ}}

である。よって、

4x+y

は

(x,\,y)=\left(\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}},\,\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\right)

において最小値

\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}

をとることがわかる。

(2)

x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c

を正の実数とする。

a^{x}b^{y}=b^{y}c^{z}=c^{z}a^{x}=abc\quad(a\neq1\ \text{かつ}\ b\neq1\ \text{かつ}\ c\neq1)

を満たしているとき、

x+4y+z

は

(x,\,y,\,z)=(\boxed{\text{ケ}},\,\boxed{\text{コ}},\,\boxed{\text{サ}})

において最小値

\boxed{\text{シ}}

をとる。

出典：久留米大学 2025年度前期数学第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
ア $2$ 、イ $9$ 、 $(x,\,y)=\left(\dfrac{3}{4},\,\dfrac{3}{2}\right)$ で最小値 $\dfrac{9}{2}$
(2)
$(x,\,y,\,z)=(2,\,1,\,2)$ で最小値 $8$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

対数をとると

x\log a=y\log b=\dfrac{\log a+\log b}{2}

となり、

\dfrac{1}{x},\,\dfrac{1}{y}

が

\log a,\,\log b

に比例する。最小値は相加・相乗平均（(2) はコーシー・シュワルツの不等式）。

解答

(1) 対数をとると

x\log a=y\log b=\dfrac{\log a+\log b}{2}=L

（

L\neq0

）。

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{\log a+\log b}{L}=2

。

\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)(4x+y)=5+\dfrac{4x}{y}+\dfrac{y}{x}\geqq5+2\sqrt{4}=9,

等号は

y=2x

。このとき

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x}=2

より

x=\dfrac{3}{4}

、

y=\dfrac{3}{2}

で、

4x+y=\dfrac{9}{2}

が最小値（

a=e^{2},\,b=e

などで実現する）。

(2)

A=\log a

、

B=\log b

、

C=\log c

、

S=A+B+C

とおくと

xA+yB=yB+zC=zC+xA=S

。これより

xA=yB=zC=\dfrac{S}{2}

で、

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2(A+B+C)}{S}=2

。コーシー・シュワルツの不等式より

(x+4y+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\geqq(1+2+1)^{2}=16,

よって

x+4y+z\geqq8

。等号は

x=2y=z

のときで、

\dfrac{4}{x}=2

より

(x,\,y,\,z)=(2,\,1,\,2)

、最小値

8

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

対数をとる
相加平均・相乗平均
コーシー・シュワルツの不等式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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