2宮崎大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) 関数の定義域は $-1\leqq x\leqq1$ であり、微分を考えるのは $-1<x<1$ である。この範囲では $\sqrt{1-x^2}>0$ だから、積の微分と合成関数の微分により
$$\begin{aligned} f'(x)&=2\sqrt{1-x^2}+2x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}},\\ f''(x)&=2\left\{-4x(1-x^2)^{-1/2}+x(1-2x^2)(1-x^2)^{-3/2}\right\}\\ &=\frac{2x\{-4(1-x^2)+(1-2x^2)\}}{(1-x^2)^{3/2}}=\frac{2x(2x^2-3)}{(1-x^2)^{3/2}}. \end{aligned}$$$$f^{\prime }(x)=2\sqrt{1-x^2}+2x\cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}},$$$$f^{\prime \prime }(x)=2\left\{-4x(1-x^2{)}^{-1/2}+x(1-2x^2)(1-x^2{)}^{-3/2}\right\}$$$$=\frac{2x\{-4(1-x^2)+(1-2x^2)\}}{(1-x^2{)}^{3/2}}=\frac{2x(2x^2-3)}{(1-x^2{)}^{3/2}}.$$
$x\to1-0$ および $x\to-1+0$ では、$f'(x)$ の分子は $-2$ に近づき、分母は正のまま $0$ に近づく。したがって
$$\lim_{x\to1-0}f'(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to-1+0}f'(x)=-\infty.$$

(2) $-1<x<1$ では分母が正なので、$f'(x)$ の符号は $1-2x^2$ の符号と一致する。よって $f$ は $-1<x<-1/\sqrt2$ と $1/\sqrt2<x<1$ で減少し、$-1/\sqrt2<x<1/\sqrt2$ で増加する。また
$$f\left(-\frac1{\sqrt2}\right)=-1,\qquad f\left(\frac1{\sqrt2}\right)=1,\qquad f(-1)=f(1)=0.$$
したがって内部の極小値は $-1$、極大値は $1$ である。さらに $2x^2-3<0$ は $-1<x<1$ で成り立つから、$f''(x)>0$ は $-1<x<0$ で、$f''(x)<0$ は $0<x<1$ で成り立つ。曲線 $C$ は $-1<x<0$ で下に凸、$0<x<1$ で上に凸であり、変曲点は $(0,0)$ である。$f(-x)=-f(x)$ なのでグラフは原点対称で、$(-1,0),(0,0),(1,0)$ を通る。両端では導関数の極限が $-\infty$ となり、接線方向は鉛直である。これらの点と増減・凹凸を用いて概形を描ける。

(3) $f''(x)>0$ が $-1<x<0$ で、$f''(x)<0$ が $0<x<1$ であるから、$f'$ は $-1<x<0$ で増加し、$0<x<1$ で減少する。したがって傾き $f'(x)$ の最大値は $x=0$ でとる。その値は $f'(0)=2$ で、$f(0)=0$ だから接線 $\ell$ は
$$y-0=2(x-0),\qquad \text{したがって}\quad \ell:y=2x.$$

(4) $0\leqq x\leqq1$ では $0\leqq\sqrt{1-x^2}\leqq1$ なので、直線 $\ell$ は曲線 $C$ の上側にある。求める部分は、左端の接点 $(0,0)$ から曲線 $C$ と $\ell$ の間を右へ進み、$x=1$ の縦線分で閉じる領域である。よって
$$\begin{aligned} S&=\int_0^1\{2x-2x\sqrt{1-x^2}\}\,dx\\ &=1-\left[-\frac23(1-x^2)^{3/2}\right]_0^1=1-\frac23=\frac13. \end{aligned}$$$$S={\int }_0^1\{2x-2x\sqrt{1-x^2}\}dx$$$$=1-{\left[-\frac{2}{3}(1-x^2{)}^{3/2}\right]}_0^1=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$
したがって $S=\frac13$ である。