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横浜市立大学／2023年度／前期

I横浜市立大学 2023年 数学 第I問解答・解説

指数関数・対数関数いろいろな式三角関数場合の数と確率

1問題

横浜市立大学2023年度第I問
以下の各問いに答えなさい。
(1) 2log⁡492^{\log_{4}9} の値を計算しなさい。
(2) 複素数 zz が z4=z2−1z^{4}=z^{2}-1 をみたすとき、z40+2z10+1z20z^{40}+2z^{10}+\frac{1}{z^{20}} の値を求めなさい。
(3) 方程式
12+cos⁡2x+11+sin⁡2x=6463 \frac{1}{2+\cos^{2}x}+\frac{1}{1+\sin^{2}x}=\frac{64}{63}
の解 xx のうち、0≦x≦180∘0\leqq x\leqq180^{\circ} の範囲にあるものの個数を求めなさい。
(4) 1つの問題につき、その解答の候補が5個提示されている試験があります。各問題に対して正解はちょうど1つだけ存在し、解答者は各問題に対して、必ず1つの解答を選択しなければならないものとします。このような問題が5問ある試験に対して、各問題の解答の候補からランダムにひとつを選んで答えることにします。このとき、5問中3問が正解となる確率を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    33
  • (2)
    00
  • (3)
    2個（60∘60^\circ、120∘120^\circ）
  • (4)
    5C3(15)3(45)2=32625{}_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{5}\right)^{3}\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{32}{625}（各問の選択が独立の場合）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) log⁡49=log⁡23\log_4 9=\log_2 3 だから 2log⁡49=2log⁡23=32^{\log_4 9}=2^{\log_2 3}=3。

(2) 条件から z4=z2−1z^4=z^2-1。したがって z6=z2z4=z4−z2=−1z^6=z^2z^4=z^4-z^2=-1、よって z12=1z^{12}=1 であり z≠0z\ne0。これより z40=z4z^{40}=z^4, z10=z4z6=−z4z^{10}=z^4z^6=-z^4, z−20=z4z^{-20}=z^4 だから
z40+2z10+1z20=z4−2z4+z4=0. z^{40}+2z^{10}+\frac1{z^{20}}=z^4-2z^4+z^4=0.

(3) t=cos⁡2xt=\cos^2x とおくと 0≦t≦10\leqq t\leqq1 かつ 1+sin⁡2x=2−t1+\sin^2x=2-t。よって左辺は
12+t+12−t=44−t2. \frac1{2+t}+\frac1{2-t}=\frac4{4-t^2}.
方程式を解くと 4/(4−t2)=64/634/(4-t^2)=64/63 より t2=1/16t^2=1/16。t≧0t\geqq0 だから t=1/4t=1/4、すなわち cos⁡x=±1/2\cos x=\pm1/2。指定範囲内では x=60∘,120∘x=60^\circ,120^\circ の2個。

(4) 各問題の選択を独立かつ一様と解釈する場合、ちょうど3問正解する確率は
5C3(15)3(45)2=1603125=32625. {}_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\frac15\right)^3\left(\frac45\right)^2=\frac{160}{3125}=\frac{32}{625}.
この値は設問ごとの選択が独立であることを仮定する。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 対数の底の変換
  • 与えられた多項式関係による冪の整理
  • 三角方程式の置換と区間内の解の個数確認
  • 二項確率

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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