3香川大学 2023年 数学 第3問解答・解説

対数の底の大小による単調性を用い、対数値で不等式を解いてから指数曲線で座標平面上の範囲に直す。

(1) 定義域は $x>0,\ x\ne1,\ y>0,\ y\ne1$ である。底が $x>1$ のとき対数関数 $\log_x y$ は $y$ の増加関数で、$\log_x1=0$ だから $\log_xy>0$ は $y>1$ と同値である。底が $0<x<1$ のときは減少関数なので、$\log_xy>0$ は $0<y<1$ と同値である。したがって、求める範囲は
$$x>1,\ y>1\qquad\text{または}\qquad0<x<1,\ 0<y<1.$$
境界 $x=1$ および $y=1$ は定義域に含まれない。

(2) $a=\log_xy$ とおく。$y\ne1$ より $a\ne0$ であり、対数の底の変換から $\log_yx=1/a$ である。よって不等式は
$$a+\frac3a-4=\frac{(a-1)(a-3)}{a}<0$$
となる。符号を調べると、これは $a<0$ または $1<a<3$ と同値である（$a=1,3$ は等号になる）。

$a<0$ は $x$ と $y$ が $1$ の反対側にあることを表す。すなわち、$x>1$ なら $0<y<1$、$0<x<1$ なら $y>1$ である。
$1<a<3$ のときは $y=x^a$ と書ける。$x>1$ では $x^a$ は $a$ の増加関数だから $x<y<x^3$、$0<x<1$ では $x^a$ は $a$ の減少関数だから $x^3<y<x$ である。したがって求める範囲は
$$\begin{aligned} &x>1,\ 0<y<1;\qquad 0<x<1,\ y>1;\\ &x>1,\ x<y<x^3;\qquad 0<x<1,\ x^3<y<x. \end{aligned}$$$$x>1,0<y<1;0<x<1,y>1;$$$$x>1,x<y<x^3;0<x<1,x^3<y<x.$$
いずれも不等号は厳密であり、境界 $x=1,\ y=1,\ y=x,\ y=x^3$ は含まれない。