5久留米大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) $x>0$ として両辺を $x$ で微分する。積分の上端は $\log x$ だから
$$\frac{f(\log x)}{x}=2.$$
$u=\log x$ と置けば $x=e^u$ なので、$f(u)=2e^u$。従って
$$\boxed{f(x)=2e^x}.$$

(2) 定数 $A=\displaystyle\int_{1}^{2} f(t)\,dt,\ B=\displaystyle\int_{1}^{2} t f(t)\,dt$ とおく。与式から
$$f(x)=(A-2)x+(B+4)$$
となるので $f(x)=mx+b$ とおける。これを $A,B$ の積分にも用いると
$$A=\frac32m+b,\qquad B=\frac73m+\frac32b.$$
一方 $m=A-2,\ b=B+4$ だから
$$b=2-\frac12m,\qquad b=-\frac{14}{3}m-8.$$
両式から $m=-12/5,\ b=16/5$ を得る。従って
$$\boxed{f(x)=\frac{-12x+16}{5}}.$$

(3) 再び $A=\displaystyle\int_{1}^{2} f(t)\,dt,\ B=\displaystyle\int_{1}^{2} t f(t)\,dt$ とおく。与式を微分すると
$$\frac{f(\log x)}x-A=2.$$
よって $f(x)=c e^x$ とおけ、$c=A+2$ である。ここで
$$A=c(e^2-e),\qquad B=c\int_1^2te^t\,dt=ce^2$$
だから $c=c(e^2-e)+2$、すなわち
$$c=-\frac2{e^2-e-1},\qquad f(x)=-\frac{2e^x}{e^2-e-1}.$$
また元の式の左辺は
$$\begin{aligned} \int_1^{\log x}ce^t\,dt-\int_1^2(x+t)ce^t\,dt &=c(x-e)-xA-B\\ &=c(1-e^2+e)x-c(e+e^2)\\ &=2x+\frac{2e^2+2e}{e^2-e-1}. \end{aligned}$$$${\int }_1^{\log x}c{e}^{t}dt-{\int }_1^2(x+t)c{e}^{t}dt=c(x-e)-xA-B$$$$=c(1-e^2+e)x-c(e+e^2)$$$$=2x+\frac{2e^2+2e}{e^2-e-1}.$$
従って
$$\boxed{f(x)=-\frac{2e^x}{e^2-e-1},\qquad a=\frac{2e^2+2e}{e^2-e-1}}.$$