3久留米大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$x$ は整数で $\log_2x$ が定義されるから $x$ は正の整数である。また
$$2^{\log_2x+x}=x2^x.$$
$x$ を固定すると、格子点の $y$ は
$$x2^x\leqq y\leqq -x^2+n(2^n+n)$$
を満たす整数である。

(1) $n=2$ では上端は $12-x^2$。許される $x$ は $1,2$ であり、$x=1$ では $2\leqq y\leqq11$ の10個、$x=2$ では $y=8$ の1個である。従って
$$\boxed{D_2\text{ の格子点は }11\text{ 個}}.$$

(2) $S=\sum_{k=1}^n k2^k$ とおく。2倍した式から元の式を引くと
$$\begin{aligned} 2S&=\sum_{k=1}^n k2^{k+1}=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)2^k,\\ S=2S-S&=n2^{n+1}-2-\sum_{k=2}^n2^k\\ &=n2^{n+1}-2-(2^{n+1}-4)\\ &=(n-1)2^{n+1}+2. \end{aligned}$$$$2S=\sum _{k=1}^{n}k{2}^{k+1}=\sum _{k=2}^{n+1}(k-1)2^k,$$$$S=2S-S=n{2}^{n+1}-2-\sum _{k=2}^n{2}^k$$$$=n{2}^{n+1}-2-(2^{n+1}-4)$$$$=(n-1)2^{n+1}+2.$$
従って空欄は $\boxed{\text{メ}=1,\ \text{モ}=1,\ \text{ヤ}=2}$ である。

(3) $g(k)=k^2+k2^k$ は正整数上で増加し、上端が下端以上となる条件は
$$g(x)=x^2+x2^x\leqq n^2+n2^n=g(n)$$
である。従って許される $x$ はちょうど $1\leqq x\leqq n$。各 $x$ に対する $y$ の個数を足すと
$$\begin{aligned} N_n&=\sum_{x=1}^n\{n2^n+n^2-x^2-x2^x+1\}\\ &=n^2 2^n+n^3+n-\frac{n(n+1)(2n+1)}6-S. \end{aligned}$$$$N_n=\sum _{x=1}^n\{n{2}^n+n^2-x^2-x{2}^x+1\}$$$$=n^2{2}^n+n^3+n-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-S.$$
(2) の $S=(n-1)2^{n+1}+2$ を代入して整理すると
$$N_n=\frac23n^3-\frac12n^2+\frac56n-2+(n^2-2n+2)2^n.$$
従って空欄は
$$\boxed{\text{ユ}=2,\ \text{ヨ}=3,\ \text{ラ}=1,\ \text{リ}=2,\ \text{ル}=5,\ \text{レ}=6,\ \text{ロ}=2,\ \text{ワ}=2,\ \text{ン}=2}.$$