2北里大学 2024年 数学 第2問解答・解説

定積分による項ごとの比較、導関数による正の値の証明、および有限和の整理を順に行う。

(1)

$k-1\leqq x\leqq k$ では $\dfrac{1}{x}\geqq\dfrac{1}{k}$ であり、$k-1\leqq x<k$ では $\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{k}$ である。したがって、各 $k=2,\,\cdots,\,n$ について
$$\dfrac{1}{k}<\int_{k-1}^{k}\dfrac{dx}{x}.$$
これを足し合わせると
$$\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k} <\int_{1}^{n}\dfrac{dx}{x} =\log n$$
となる。$n\geqq2$ なので少なくとも1つの正の長さの区間があり、不等号は厳密である。

(2)

$f(0)=0$ であり、$x>0$ に対して
$$f'(x)=1+\dfrac{1}{(1+x)^{2}}-\dfrac{2}{1+x} =\dfrac{x^{2}}{(1+x)^{2}}>0.$$
よって $f$ は $x\geqq0$ で増加し、すべての $x>0$ で $f(x)>f(0)=0$ が成り立つ。ここで $x=\dfrac{1}{n}>0$ を代入すると
$$0<f\left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}-2\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$$
であり、指定の不等式が得られる。

(3)

(2) の不等式を $k=1,\,\cdots,\,n-1$ について足すと
$$\sum_{k=1}^{n-1}\left(\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k+1}\right) >2\sum_{k=1}^{n-1}\log\left(1+\dfrac{1}{k}\right).$$
左辺は $2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-1-\dfrac{1}{n}$、右辺は
$$\log\dfrac{2}{1}+\log\dfrac{3}{2}+\cdots+\log\dfrac{n}{n-1}=\log n$$
であるから、右辺は $2\log n$ となる。したがって両辺を2で割れば
$$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)>\log n$$
を得る。