2久留米大学 2023年 数学 第2問解答・解説

1回のゲームの得点変化を、3の倍数の目なら $+2$、そうでなければ $-1$ とする。各回独立で、確率はそれぞれ $1/3,2/3$ である。$+2$ が $r$ 回、$-1$ が $m-r$ 回出たときの合計得点は $2r-(m-r)=3r-m$ となる。

(1) 3回後に0点となるには $r=1$ であればよい。従って
$$\boxed{\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}(1/3)(2/3)^2}{1}=\frac49}.$$

(2) 6回後に初めて0点となるには、$+2$ が2回、$-1$ が4回出る。全15列のうち、3回目までに0点に戻る列は、最初の3回が「$+2$ が1回、$-1$ が2回」となる3通りに、残り3回で同じ構成をとる3通りを組み合わせた $3\cdot3=9$ 列である。したがって6回目に初めて戻る列は $15-9=6$ 列。途中で0点となる可能性はこの3回目だけである（得点が0となるには、それまでの回数を $3r$ とする必要がある）。よって
$$\boxed{6\left(\frac13\right)^2\left(\frac23\right)^4=\frac{96}{729}=\frac{32}{243}}.$$

(3) 3回目に初めて0点となる確率は (1) の $4/9$ である。その後9回目に2回目の0点となるには、次の6回で初めて0点に戻ればよい。増分は独立なので、その確率は (2) と同じ $32/243$。従って
$$\boxed{\frac49\cdot\frac{32}{243}=\frac{128}{2187}}.$$

(4) 9回後に初めて0点となるには $+2$ が3回、$-1$ が6回である。9回の全ての0点帰着列は ${}_{9}\mathrm{C}_{3}=84$ 列である。最初の0点帰着が3回目なら、最初の3回は初帰着列が3通り、残る6回は任意の帰着列が ${}_{6}\mathrm{C}_{2}=15$ 通りなので $3\cdot15$ 列。最初の帰着が6回目なら、前半6回は (2) の初帰着列が6通り、残り3回は任意の帰着列が ${}_{3}\mathrm{C}_{1}=3$ 通りなので $6\cdot3$ 列。この二場合は重ならず、9回目が初帰着となる列数は
$$84-3\cdot15-6\cdot3=21.$$
各列の確率は $(1/3)^3(2/3)^6$ だから
$$\boxed{21\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^6=\frac{1344}{19683}=\frac{448}{6561}}.$$