7秋田大学 2024年 数学 第7問解答・解説

解答

カード番号1,2,3,4を引いたときの値 $i^{c_n}$ はそれぞれ $i,-1,-i,1$ である。8回の出現回数を $N_1,N_2,N_3,N_4$ とすると
$$a=N_4-N_2,\qquad b=N_1-N_3.$$

(i) $a=b=0$ となる条件は $N_1=N_3=r$, $N_2=N_4=4-r$（$r=0,1,2,3,4$）。該当する列数は
$$\sum_{r=0}^4\frac{8!}{r!^2(4-r)!^2} =\frac{8!}{(4!)^2}\sum_{r=0}^4\cdot{}_{4}\mathrm{C}_{r}^2 =70(1+16+36+16+1)=4900.$$
全列数は $4^8$ なので
$$P(a=b=0)=\frac{4900}{4^8}=\frac{1225}{16384}.$$

(ii) 各回の $(a,b)$ への寄与は $(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,0)$ のいずれかで、同確率である。この4方向は座標の符号反転と座標交換で互いに移る。各変換は8回の列全体を重複も漏れもなく一対一に対応させるので、4つの非零象限の確率は等しい。また、座標交換で
$$P(a=0,b\ne0)=P(a\ne0,b=0).$$
$Z=P(a=b=0)$、$O=P(a\ne0,b\ne0)$、$X=P(a=0,b\ne0)$、$Y=P(a\ne0,b=0)$ とおく。4つの象限の共通確率を $q$ とすれば $O=4q$、符号反転対称性から $P(a=0,b>0)=X/2$。従って
$$P(a\geqq0,b>0)=q+\frac X2 =\frac{O+X+Y}{4} =\frac{1-Z}{4} =\frac{1-1225/16384}{4} =\frac{15159}{65536}.$$