1金沢医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

3 個のさいころの出目は独立で、全 $6^{3}=216$ 通りが同様に確からしい。
$$\mathrm{P}=(a,0),\quad \mathrm{Q}=\left(b\cos\theta,\,b\sin\theta\right),\qquad \theta=\dfrac{c\pi}{6}.$$
$a,\,b$ は正なので、三角形 OPQ が存在するのは $\sin\theta\ne 0$、すなわち $c=1,\,2,\,3,\,4,\,5$ のときである。このとき $S=\dfrac{1}{2}ab\sin\theta$ である。

$ab\leqq 36$ であり、また $c=1,\cdots,5$ では $\sin\dfrac{c\pi}{6}\leqq 1$ なので、最大値は $a=b=6,\ c=3$ の $S=18$ である。最小値は $a=b=1,\ c=1$ または $c=5$ の $S=\dfrac{1}{4}$ である。

(2)

正三角形なら $\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$ より $a=b$ である。さらに余弦定理から
$$\mathrm{PQ}^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\theta=a^{2}$$
なので $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$、したがって $c=2$ である。このとき $a=b$ なら確かに 3 辺は等しい。該当する出目は $(a,b)=(1,1),\cdots,(6,6)$ の 6 通りだから、確率は $\dfrac{6}{216}=\dfrac{1}{36}$ である。

(3)

直角が O にあるのは $c=3$ のときで、$a,\,b$ は任意、36 通りである。直角が P にある条件は
$$\overrightarrow{\mathrm{PO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0\quad\text{すなわち}\quad a=b\cos\theta.$$
直角が Q にある条件は同様に $b=a\cos\theta$ である。
正の整数 $a,\,b$ では $\cos\theta>0$ が必要で、$c=1,\,2$ だけを調べればよい。$c=1$ の $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ は無理数なので、整数比 $a/b$ にはならない。$c=2$ では $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ であり、直角が P の場合は $b=2a$ の 3 通り、Q の場合は $a=2b$ の 3 通りである。合計は $36+3+3=42$ 通りで、確率は $\dfrac{42}{216}=\dfrac{7}{36}$ である。

(4)

$c=1,\,5$ なら $S=\dfrac{ab}{4}$ なので、$ab$ が 4 で割り切れることが必要十分である。$a=1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$ の順に条件を満たす $b$ の個数は $1,\,3,\,1,\,6,\,1,\,3$、合計 15 通りである。したがって $c=1,\,5$ から 30 通り。
$c=2,\,4$ では $S=\dfrac{ab\sqrt{3}}{4}$ は整数にならない。$c=3$ では $S=\dfrac{ab}{2}$ なので、$ab$ が偶数であることが必要十分である。これは $36-3\cdot 3=27$ 通り。合計 57 通りだから、確率は $\dfrac{57}{216}=\dfrac{19}{72}$ である。

(5)

距離の二乗は
$$\mathrm{PQ}^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\dfrac{c\pi}{6}.$$
$c=1,\,2,\,3$ では余弦が非負なので $\mathrm{PQ}^{2}\leqq a^{2}+b^{2}\leqq 72<81$ となり、該当しない。$c=4$ では条件は $a^{2}+b^{2}+ab\geqq 81$ で、該当する順序対は $(5,6),\,(6,5),\,(6,6)$ の 3 通り。$c=5$ では条件は $a^{2}+b^{2}+\sqrt{3}\,ab\geqq 81$ で、該当する順序対は $(4,6),\,(5,5),\,(5,6),\,(6,4),\,(6,5),\,(6,6)$ の 6 通りである（左辺は $a,\,b$ それぞれについて増加するため、各行の閾値を調べればよい）。
従って全体で 9 通り、確率は $\dfrac{9}{216}=\dfrac{1}{24}$ である。

以上より
$$\boxed{18,\quad \dfrac{1}{4},\quad \dfrac{1}{36},\quad \dfrac{7}{36},\quad \dfrac{19}{72},\quad \dfrac{1}{24}}$$
であり、空欄は
$$\boxed{\text{アイ}=18,\ \text{ウ}=1,\ \text{エ}=4,\ \text{オ}=1,\ \text{カキ}=36,\ \text{ク}=7,\ \text{ケコ}=36,\ \text{サシ}=19,\ \text{スセ}=72,\ \text{ソ}=1,\ \text{タチ}=24}.$$