3岩手医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

カプセルを種類の異なる2要素の組とみなし、選んだ3組に現れる各種類の出現回数からn=4,5の場合を分類して数え、全選択数に対する確率を求める。

問1について、10種類から異なる2種類を選ぶごとに1個のカプセルがあるので、カプセルの総数は ${}_{10}\mathrm{C}_{2}=45$ 個である。ある1種類に注目すると、組になる相手は残りの9種類であり、その人形は9個のカプセルに入っている。
問2について、3個のカプセルは互いに異なる。種類が2種類以下なら作れる異なる組合せは高々1つなので、3個を選ぶことはできず、$n\geqq 3$ である。また、6体から異なる種類は高々6種類だから $n\leqq 6$ である。$n=3$ は3種類の間の3組、$n=4$ は1種類を共通とする3組、$n=5$ は3種類の中で2組を作り、残る2種類で1組を作る場合、$n=6$ は互いに重ならない3組で実現できる。したがって、$3\leqq n\leqq 6$ である。
問3、問4では、全45個から異なる3個を選ぶ方法は ${}_{45}\mathrm{C}_{3}=14190$ 通りで、いずれも同様に確からしい。
$n=5$ の場合、選ばれた5種類すべてが使われ、種類ごとの出現回数の合計は6回である。各種類は少なくとも1回現れるため、出現回数は1回が4種類、2回が1種類である。2回現れる種類を選ぶと、その種類と組になる2種類を残り4種類から選び、最後の2種類どうしが組になる。したがって、まず使う5種類を選び、その中での組合せ方を数えると ${}_{10}\mathrm{C}_{5}\cdot 5\cdot{}_{4}\mathrm{C}_{2}=252\cdot 30=7560$ 通りである。よって確率は $\frac{7560}{14190}=\frac{252}{473}$ である。
$n=4$ の場合、選ばれた4種類の出現回数の合計は6回で、各種類は少なくとも1回現れる。したがって出現回数の組は $(3,1,1,1)$ または $(2,2,1,1)$ である。前者は1種類を中心にした3組で、中心の選び方は4通り。後者は4種類を順につないだ道筋の形であり、4種類の並べ方は逆順を同じ組合せと数えて $4!/2=12$ 通りである。よって、4種類を固定したときの組合せ方は $4+12=16$ 通りであり、該当数は ${}_{10}\mathrm{C}_{4}\cdot16=210\cdot16=3360$ 通り。したがって確率は $\frac{3360}{14190}=\frac{112}{473}$ である。
検算として、$n=3$ は三角形状の組合せが ${}_{10}\mathrm{C}_{3}=120$ 通り、$n=6$ は6種類を選んで3組に分ける方法が ${}_{10}\mathrm{C}_{6}\cdot 15=3150$ 通りである。これらに $n=4,5$ の個数を加えると $120+3360+7560+3150=14190$ となり、全選び方と一致する。また、2つの確率は既約分数である。