2大分大学 2023年 数学 第2問解答・解説

解答
(1) 赤玉5個が全 $n+5$ 個の玉の並びのどの位置に出るかを考える。各位置の組について赤玉の並べ方は $5!$ 通り、白玉の並べ方は $n!$ 通りで一定だから、赤玉の位置の組 ${}_{n+5}\mathrm{C}_{5}$ 通りは同様に確からしい。条件を満たすには6番目が赤玉であり、残り4個の赤玉が1〜5番目のうち4か所に出ればよい。したがって
$$p(n)=\frac{{}_{5}\mathrm{C}_{4}}{{}_{n+5}\mathrm{C}_{5}}=\frac5{{}_{n+5}\mathrm{C}_{5}}.$$

(2) 積の形にすると
$$\frac1{{}_{n+4}\mathrm{C}_{4}}-\frac1{{}_{n+5}\mathrm{C}_{4}} =\frac{24}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}-\frac{24}{(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)} =\frac{96}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$$
一方、(1)より
$$p(n)=\frac{600}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$$
よって $A=600/96=25/4$。

(3) (2)の式を $k=1,\ldots,n$ について加えると、隣り合う項が消えて
$$S_n=\frac{25}{4}\left(\frac1{{}_{5}\mathrm{C}_{4}}-\frac1{{}_{n+5}\mathrm{C}_{4}}\right) =\frac54-\frac{25}{4\cdot{}_{n+5}\mathrm{C}_{4}}.$$
${}_{n+5}\mathrm{C}_{4}\to\infty$ なので
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}S_n=\frac54}.$$