II慶應義塾大学 2023年 数学 第II問解答・解説

まず1セットの勝敗列から各得点の確率を確定し、独立なnセットの得点を組合せで数える。最後は4セットの得点差の対称性を使う。

1セットの勝敗は独立で、A君が2勝0敗で勝つ確率は $\frac14$ である。また、A君が2勝1敗で勝つには、勝敗の並びが $ABA$ または $BAA$ となるので、その確率は $\frac{2}{8}=\frac14$ である。よって1セットごとの得点は
$$(\text{A君},\text{B君})=(2,0),(1,0),(0,1),(0,2)$$
の4通りがそれぞれ確率 $\frac14$ で起こる。特にA君の得点は $2,1,0$ 点をそれぞれ確率 $\frac14,\frac14,\frac12$ で得る。

(1) 以上から、$(\text{あ})=\frac14$, $(\text{い})=\frac14$ である。

(2) $n$ セットのうち、A君が2点を得る2セット、1点を得る2セットを選ぶ。残りの各セットではA君は0点である。各セットは独立だから、求める確率は
$$\frac{n!}{2!2!(n-4)!}\left(\frac14\right)^2\left(\frac14\right)^2\left(\frac12\right)^{n-4} =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2^{n+6}}.$$
したがって $(\text{う})=n(n-1)(n-2)(n-3)$, $(\text{え})=2^{n+6}$ とできる。

(3) $b_n=0$ であるためには、B君がどのセットでも勝たないことが必要十分であり、すべてのセットでA君が勝つ。そのときA君は各セットで1点または2点を得る。合計が $n+2$ 点になるのは、ちょうど2セットで2点、残りの $n-2$ セットで1点を得る場合である。よって
$${}_{n}\mathrm{C}_{2}\left(\frac14\right)^n =\frac{n(n-1)}{2^{2n+1}}.$$
したがって $(\text{お})=n(n-1)$, $(\text{か})=2^{2n+1}$ とできる。

(4) A君が合計2点を得るのは、(i) 1セットで2点を得て残りで0点、または (ii) 2セットで1点を得て残りで0点、のいずれかである。この二つは互いに重ならないので、確率は
$$n\cdot\frac14\left(\frac12\right)^{n-1} +{}_{n}\mathrm{C}_{2}\left(\frac14\right)^2\left(\frac12\right)^{n-2} =\frac{n}{2^{n+1}}+\frac{n(n-1)}{2^{n+3}} =\frac{n(n+3)}{2^{n+3}}.$$
よって $(\text{き})=n(n+3)$, $(\text{く})=2^{n+3}$ とできる。

(5) 1セットごとの得点差 $\text{A君}-\text{B君}$ は $2,1,-1,-2$ のいずれかで、各値は確率 $\frac14$ である。4セットの得点差の和の分布は符号を反転しても変わらないから、正の和となる場合の数と負の和となる場合の数は等しい。全 $4^4=256$ 通りのうち和が0となるのは、差の組が $\{1,1,-1,-1\}$ の6通り、$\{2,2,-2,-2\}$ の6通り、$\{1,2,-1,-2\}$ の24通り、合計36通りである。したがって
$$P(a_4>b_4)=\frac{256-36}{2\cdot256}=\frac{55}{128}.$$
よって $(\text{け})=55$, $(\text{こ})=128$ である。