3北海道大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)

$\alpha=x+yi$（$x$、$y$ は実数）とおく。$|\alpha|=1$ より $x^{2}+y^{2}=1$ であり、$|\alpha+\overline{\alpha}|=2|x|$、$|\alpha-\overline{\alpha}|=2|y|$ なので、条件から $|x|=|y|$。偏角が第2象限にあるから $x<0<y$ で、$y=-x$。よって $2x^{2}=1$ となり、
$$\alpha=\dfrac{-1+i}{\sqrt{2}}.$$

(2)

$\beta^{3}=1$ かつ虚部が正であるから、
$$\beta=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}.$$
条件 $w(z-\beta)=1$ から $w\neq0$、$z=\beta+\dfrac{1}{w}$ である。$|z|=1$ を使うと
$$|\beta w+1|=|w|.$$
両辺を2乗し、$|\beta|=1$ を用いれば
$$|w|^{2}+2\,(\beta w\text{ の実部})+1=|w|^{2},\qquad \beta w\text{ の実部は }-\dfrac{1}{2}.$$
ここで $w=x+yi$ とすると、$\beta w$ の実部は $\dfrac{-x-\sqrt{3}\,y}{2}$ だから
$$x+\sqrt{3}\,y=1.$$
逆に、この直線上の $w$ は $w\neq0$ なので $z=\beta+\dfrac{1}{w}$ と定められ、上の同値変形から $|z|=1$、かつ $z\neq\beta$ である。したがって軌跡は直線 $x+\sqrt{3}\,y=1$ 全体である。傾きは $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$、$x$ 軸との交点は $(1,0)$、$y$ 軸との交点は $\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ である。