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北海道大学／2026年度

4北海道大学 2026年 数学 第4問解答・解説

微分法ベクトル

1問題

北海道大学2026年度第4問
O を原点とする座標空間に 2 点 P(1,0,3), Q(0,2,3) をとる。実数 h は h > 3 を満たすとし、点 C(0,0,h) をとる。3 点 C, P, Q を通る平面を α とする。さらに、α と x 軸との交点を A, α と y 軸との交点を B とおく。四面体 OABC の体積を V とする。次の問いに答えよ。

(1) A の x 座標を h を用いて表せ。

(2) V を h を用いて表せ。

(3) h が h > 3 を満たす実数全体を動くとき、V の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    h/(h−3)h/(h−3)
  • (2)
    V=h3/[3(h−3)2]V=h^3/[3(h−3)^2]
  • (3)
    h=9h=9 で最小値 274\frac{27}{4}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) 平面の切片

平面を lx+my+nz=dlx+my+nz=d とおく。C(0,0,h)C(0,0,h) より d=nhd=nh。P(1,0,3)P(1,0,3) と Q(0,2,3)Q(0,2,3) を代入して
l=(h−3)n,2m=(h−3)n. l=(h-3)n,\qquad 2m=(h-3)n.
h>3h>3 なので n≠0n\ne0 としてよく、平面は
(h−3)x+h−32y+z=h (h-3)x+\frac{h-3}{2}y+z=h
と書ける。xx 軸上では y=z=0y=z=0 だから、AA の xx 座標は
hh−3. \boxed{\frac{h}{h-3}}.

(2) 体積

同じ平面と yy 軸との交点は B=(0,2h/(h−3),0)B=(0,2h/(h-3),0)。O,A,BO,A,B は xyxy 平面上にあり、底面積は 12⋅h/(h−3)⋅2h/(h−3)=h2/(h−3)2\frac12\cdot h/(h-3)\cdot2h/(h-3)=h^2/(h-3)^2。点 CC から xyxy 平面までの距離は hh なので
V=13h2(h−3)2h=h33(h−3)2. V=\frac13\frac{h^2}{(h-3)^2}h=\boxed{\frac{h^3}{3(h-3)^2}}.

(3) 最小値

V′(h)=h2(h−9)3(h−3)3. V'(h)=\frac{h^2(h-9)}{3(h-3)^3}.
3<h<93<h<9 で減少、h>9h>9 で増加する。よって h=9h=9 で最小となり
Vmin⁡=933⋅62=274. V_{\min}=\frac{9^3}{3\cdot6^2}=\boxed{\frac{27}{4}}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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