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北海道大学／2026年度

5北海道大学 2026年 数学 第5問解答・解説

場合の数と確率

1問題

北海道大学2026年度第5問
1個のさいころを投げる試行を繰り返す。最初の持ち点は1とし、3の目が出たときは持ち点を3倍、5の目が出たときは持ち点を5倍、3と5以外の目が出たときは持ち点を2倍する。たとえば3回試行して出た目が順番に6, 3, 5のとき、持ち点は 1×2=21 \times 2 = 2, 2×3=62 \times 3 = 6, 6×5=306 \times 5 = 30 と変化し、最後の持ち点は30である。次の問いに答えよ。

(1) n≧2n \geqq 2 とする。n 回試行したとき、最後の持ち点が 4 の倍数となる確率を求めよ。

(2) 持ち点がはじめて 15 以上となったときに試行を終了する。終了するまでに試行した回数の期待値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    1−2n+13n1-\frac{2n+1}{3^n}
  • (2)
    371108回.\frac{371}{108}\text{回}.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

倍率2が出る回数の二項分布で(1)を数え、(2)は、試行回数が kk 回を超える確率 P(T>k)P(T>k) を k=0,1,2,⋯k=0,1,2,\cdots について足し合わせて期待値を計算する。

解答

・ 1回の試行で倍率が2となる確率は4/6=2/34/6=2/3、倍率が3または5となる確率はそれぞれ1/61/6である。n回のうち倍率2が出る回数をXXとすると、得点は2X3a5b2^X 3^a5^b（X+a+b=nX+a+b=n）である。3と5は奇数なので、得点が4の倍数となる条件はX≧2X\geqq 2。よって
1−P(X=0)−P(X=1)=1−(13)n−n23(13)n−1=1−2n+13n. 1-P(X=0)-P(X=1)=1-\left(\frac13\right)^n-n\frac23\left(\frac13\right)^{n-1}=1-\frac{2n+1}{3^n}.

・ 終了までの試行回数をTTとする。倍率は毎回少なくとも2なのでT≦4T\leqq 4。また、1回後の得点は最大でも5だからP(T>0)=P(T>1)=1P(T>0)=P(T>1)=1。2回後に15以上となる倍率の順序は(3,5),(5,3),(5,5)(3,5),(5,3),(5,5)であり、各確率は1/361/36。したがってP(T>2)=1−3/36=11/12P(T>2)=1-3/36=11/12。3回後も15未満となるのは倍率が(2,2,2)(2,2,2)の場合と、(2,2,3)(2,2,3)の順序を並べた3通りであるから、
P(T>3)=(23)3+3(23)216=1427. P(T>3)=\left(\frac23\right)^3+3\left(\frac23\right)^2\frac16=\frac{14}{27}.
よって
E(T)=∑k=03P(T>k)=1+1+1112+1427=371108. E(T)=\sum_{k=0}^{3}P(T>k)=1+1+\frac{11}{12}+\frac{14}{27}=\frac{371}{108}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 確率の基本法則
  • 独立な試行
  • 期待値

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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