2琉球大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) 絶対値で場合分けすると
$$f(x)=\begin{cases}xe^x&(x<0),\\xe^{-x}&(x\geqq0),\end{cases}\qquad f'(x)=\begin{cases}e^x(x+1)&(x<0),\\1&(x=0),\\e^{-x}(1-x)&(x>0).\end{cases}$$
$x=0$ では微分の定義から $f'(0)=\lim_{h\to0}e^{-|h|}=1$ である。
導関数の符号は $x<-1$ で負、$-1<x<1$ で正、$x>1$ で負。従って $(-1,-1/e)$ で極小、$(1,1/e)$ で極大となる。
$f(-x)=-f(x)$ より原点対称で、両端では $y=0$ に近づく。正の側では上から、負の側では下から近づく。

(2) $b=-\log a>0$ とおく。交点の条件は
$$x(e^{-|x|}-a)=0$$
より $x=-b,0,b$。$0<x<b$ では $f(x)>ax$ であり、原点対称性から左右の面積が等しい。よって面積の和は
$$\begin{aligned} S&=2\int_0^b x(e^{-x}-a)\,dx\\ &=2\left(\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^b-\frac{ab^2}{2}\right)\\ &=2-2a(b+1)-ab^2\\ &=\boxed{2-2a+2a\log a-a(\log a)^2}. \end{aligned}$$$$S=2{\int }_0^{b}x(e^{-x}-a)dx$$$$=2\left({\left[-(x+1)e^{-x}\right]}_0^b-\frac{a{b}^2}{2}\right)$$$$=2-2a(b+1)-a{b}^2$$$$=\boxed{2-2a+2a\log a-a(\log a{)}^2}.$$

(1) の概形は，両端で $x$ 軸を漸近線とし，原点に関して対称な曲線である。