2旭川医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

問1。(1) $x=1/t$ とおくと、$x\to0^+$ のとき $t\to\infty$ であり、$f(x)=-t^p\log t\to-\infty$。 (2) $u=p\log x$ とおくと、$x\to\infty$ で $u\to\infty$ だから、問題文の極限を用いて
$$f(x)=\frac{u}{p e^u}\longrightarrow0^+.$$

問2。$f(x)=\log x\,x^{-p}$ を微分すると
$$f'(x)=\frac{1-p\log x}{x^{p+1}}.$$
したがって $f$ は $0<x<e^{1/p}$ で増加し、$x>e^{1/p}$ で減少する。最大値は $f(e^{1/p})=1/(pe)$、零点は $x=1$ であり、$x\to0^+$ で $f(x)\to-\infty$、$x\to\infty$ で $f(x)\to0^+$ である。よってグラフは $(1,0)$ を通り、$x=e^{1/p}$ で山形の頂点をもち、右側で $x$ 軸に上から漸近する。変曲点は用いない。

$n\geqq1$ では $e^{-n}<1<e^{1/p}$。$x\geqq e^{-n}$ の範囲の最小値は左端での $f(e^{-n})=-ne^{pn}$、最大値は $1/(pe)$ だから、値域は $-ne^{pn}\leqq y\leqq\frac1{pe}$ である。

（グラフは形状を示す模式図で、縮尺は一定でない。）

問3。$x=a$ における接線が原点を通る条件は $f(a)-af'(a)=0$ であり、
$$f(a)-af'(a)=\frac{(p+1)\log a-1}{a^p}=0.$$
よって $a=e^{1/(p+1)}$。接線の傾きは
$$m=f'(a)=\frac{1}{(p+1)a^{p+1}}=\frac1{e(p+1)}.$$

問4。$a=e^{1/(p+1)}$、$m=1/[e(p+1)]$ とする。領域は $0\leqq x\leqq1$ で直線と $x$ 軸の間、$1\leqq x\leqq a$ で直線と曲線の間にある。したがって
$$S=\int_0^a mx\,dx-\int_1^a\frac{\log x}{x^p}\,dx =\frac{a^2}{2e(p+1)}-\int_1^a x^{-p}\log x\,dx.$$
$p>1$ より部分積分でき、
$$\int_1^a x^{-p}\log x\,dx =\left[x^{1-p}\left(\frac{\log x}{1-p}-\frac1{(1-p)^2}\right)\right]_1^a =\frac{1-\frac{2p}{p+1}e^{-(p-1)/(p+1)}}{(p-1)^2}.$$
また $a=e^{1/(p+1)}$ から $a^2/[2e(p+1)]=e^{-(p-1)/(p+1)}/[2(p+1)]$。以上を代入して
$$(p-1)^2S=\frac{(p-1)^2+4p}{2(p+1)}e^{-(p-1)/(p+1)}-1 =\frac{p+1}{2}e^{-(p-1)/(p+1)}-1.$$

$f'(x)=x^{-p-1}(1-p\log x)$より最大点$e^{1/p}$。接線が原点を通る条件は$f(a)=af'(a)$、よって$a=e^{1/(p+1)}$。面積は直線と$x$軸・曲線に分けて積分し、部分積分で$(p-1)²S$を得る。