1香川大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$a_{n+1}-1$ を $a_{n}$ で表すと $b_{n+1}$ が $b_{n}$ の 1 次式になる。$b_{n+1}-1=\dfrac{1}{4}(b_{n}-1)$ と変形して等比数列として解く。

(1)

$$a_{n+1}-1=\dfrac{-3a_{n}+2}{a_{n}-2}-1=\dfrac{-4(a_{n}-1)}{a_{n}-2}$$
だから
$$b_{n+1}=\dfrac{-3}{a_{n+1}-1}=\dfrac{3(a_{n}-2)}{4(a_{n}-1)}=\dfrac{3}{4}\left(1-\dfrac{1}{a_{n}-1}\right)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{-3}{a_{n}-1}=\dfrac{b_{n}+3}{4}.$$

(2)

$b_{1}=\dfrac{-3}{4-1}=-1$ である。(1) より $b_{n+1}-1=\dfrac{1}{4}(b_{n}-1)$ だから、数列 $\{b_{n}-1\}$ は初項 $-2$、公比 $\dfrac{1}{4}$ の等比数列である。よって
$$b_{n}=1-2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}.$$
（$b_{1}=-1$、$n\geqq 2$ で $0<b_{n}<1$ だから $b_{n}\neq 0,\,-3$ で、$a_{n}=1-\dfrac{3}{b_{n}}$ は $1$ にも $2$ にもならない。よって上の変形はすべての $n$ で成り立つ。）

(3)

$$1-2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}>\dfrac{2021}{2022}=1-\dfrac{1}{2022}\quad\Longleftrightarrow\quad 4^{n-1}>4044.$$
$4^{5}=1024<4044<4096=4^{6}$ だから、$n-1\geqq 6$ である。よって、求める最小の自然数は $n=7$ である。