IV横浜市立大学 2025年 数学 第IV問解答・解説

(1)
商の微分法と $\dfrac{d}{dx}\tan x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ より
$$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^{2}x}(1-\tan x)+(1+\tan x)\cdot\dfrac{1}{\cos^{2}x}}{(1-\tan x)^{2}}=\dfrac{2}{\cos^{2}x\,(1-\tan x)^{2}}$$
である。$\cos^{2}x\,(1-\tan x)^{2}=(\cos x-\sin x)^{2}$ であるから、
$$f'(x)=\dfrac{2}{(\cos x-\sin x)^{2}}$$
となる。この式が成り立つのは $\cos x\ne 0$ かつ $\sin x\ne\cos x$（$\tan x\ne 1$）のときである。

(2)
商の微分法より
$$f'(x)=\dfrac{\cos x\,(1+\cos^{2}x)-(\sin x-1)\cdot(-2\sin x\cos x)}{(1+\cos^{2}x)^{2}}$$
である。分子を整理すると
$$\cos x\,(1+\cos^{2}x+2\sin^{2}x-2\sin x)=\cos x\,(2+\sin^{2}x-2\sin x)=\cos x\,\{(\sin x-1)^{2}+1\}$$
となるので、
$$f'(x)=\dfrac{\cos x\,\{(\sin x-1)^{2}+1\}}{(1+\cos^{2}x)^{2}}$$
である。$(\sin x-1)^{2}+1\geqq 1>0$ と $(1+\cos^{2}x)^{2}>0$ より、$f'(x)$ の符号は $\cos x$ の符号と一致する。
$0\leqq x\leqq 2\pi$ で $\cos x=0$ となるのは $x=\dfrac{\pi}{2}$、$\dfrac{3\pi}{2}$ であり、符号の変化は次のとおりである。
・$0\leqq x<\dfrac{\pi}{2}$ では $f'(x)>0$（増加）
・$\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{3\pi}{2}$ では $f'(x)<0$（減少）
・$\dfrac{3\pi}{2}<x\leqq 2\pi$ では $f'(x)>0$（増加）
よって $x=\dfrac{\pi}{2}$ で極大、$x=\dfrac{3\pi}{2}$ で極小となる。
$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{1-1}{1+0}=0$、$f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\dfrac{-1-1}{1+0}=-2$ であるから、極大値は 0、極小値は -2 である。端点 $x=0$、$x=2\pi$ は区間の端なので極値ではなく、その値は $f(0)=f(2\pi)=-\dfrac{1}{2}$ である。

(3)
$\sin^{2}x=1-\cos^{2}x=(1-\cos x)(1+\cos x)$ より、$\sin^{3}x=\sin x\,(1-\cos x)(1+\cos x)$ である。$\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では $1-\cos x>0$ なので
$$\dfrac{\sin^{3}x}{1-\cos x}=\sin x\,(1+\cos x)=\sin x+\sin x\cos x$$
である。$\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x$、$\displaystyle\int\sin x\cos x\,dx=\dfrac{\sin^{2}x}{2}$ より
$$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^{3}x}{1-\cos x}\,dx=\left[-\cos x+\dfrac{\sin^{2}x}{2}\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1+2\sqrt{2}}{4}$$
となる。

(4)
曲線 $y=\sin x$（$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$）、$y$ 軸、直線 $y=1$ で囲まれた部分は、$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ において $\sin x\leqq y\leqq 1$ を満たす点の集まりである。この部分を $y$ 軸のまわりに回転させるので、$x$ から $x+dx$ までの縦の細い帯を回すと、半径 $x$、高さ $1-\sin x$、厚さ $dx$ の円筒の殻になる。その体積は $2\pi x(1-\sin x)\,dx$ であるから、求める体積は
$$V=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi x(1-\sin x)\,dx=2\pi\left(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\,dx-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx\right)$$
である。$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\,dx=\dfrac{\pi^{2}}{8}$ である。また部分積分により
$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx=\left[-x\cos x+\sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1$$
である。よって
$$V=2\pi\left(\dfrac{\pi^{2}}{8}-1\right)=\dfrac{\pi^{3}}{4}-2\pi$$
となる。