5山形大学 2025年 数学 第5問解答・解説

次の問に答えよ。

(1) 複素数平面上の点 $z, z_{1}, z_{2}$ について、2 点 $z_{1}, z_{2}$ を点 $z$ を中心に $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点をそれぞれ $w_{1}, w_{2}$ とする。 $z = 3\sqrt{3} - 5i, z_{1} = 5\sqrt{3} + 3i$ であるとき、次の (i), (ii) に答えよ。

(i) $w_{1}$ を求めよ。

(ii) 点 $w_{1}$ と点 $w_{2}$ および原点 O を頂点とする三角形が正三角形となるとき、$z_{2}$ を求めよ。 ただし、$w_{2}$ の実部は負であるとする。

(2) 関数 $\displaystyle f(x)=\int_{x-1}^{x}|t|e^{t}\,dt$ と $g(x)=e^{-x+1}\frac{d}{dx}f(x)$ に対して、次の (i), (ii), (iii) に答えよ。 以下では、$2<e<3$ であることを用いてよい。

(i) 不定積分 $\displaystyle \int te^{t}\,dt$ を求めよ。

(ii) 関数 $g(x)$ と $g(x)=0$ を満たす x を求めよ。

(iii) $f(x)$ が $x=a$ で極大になるとき、$e^{-a+1}f(a)$ を求めよ。