I順天堂大学 2023年 数学 第I問解答・解説

$\boxed{\phantom{0}}$ に適する解答をマークせよ。ただし、同一問題で同じ記号の $\boxed{\phantom{0}}$ がある場合は同一の値が入る。
(1)(a) 複素数 $z$ に対して、$w=z^{2}$ とおく。点 $z$ が複素数平面上の点 $\frac{3}{8}$ を通り、虚軸に平行な直線上を動くとする。このとき、$z=\frac{3}{8}+yi,\ w=u+vi$ とおくと
$$u=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}-\frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}v^{\boxed{\text{キ}}}$$
という関係が得られるので、点 $w$ は複素数平面上で実軸と点 $\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}$ で交わり、虚軸と $\pm\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}i$ の2点で交わる放物線を描く。
(b) 複素数 $z$ に対して、$w=\frac{1}{z}$ とおく。点 $z$ が複素数平面上の点 $2i$ を通り、実軸に平行な直線上を動くとする。このとき、$z=x+2i,\ w=u+vi$ とおくと
$$u^{2}+v^{2}=\frac{1}{x^{2}+\boxed{\text{セ}}}$$
となり、
$$u^{2}+\left(v+\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}\right)^{\boxed{\text{チ}}}=\frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$$
という関係が得られるので、点 $w$ は複素数平面上で点 $\frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}i$ を中心とする半径 $\frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}$ の円を描く。ただし、点 $\boxed{\text{ハ}}$ を除く。
(2) 座標平面上の3点 $A(-1,-1),\ P(x_{1},y_{1}),\ Q(x_{2},y_{2})$ について、$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$ の関係があるとき、
$$x_{1}=\boxed{\text{ア}}x_{2}+\boxed{\text{イ}},\qquad y_{1}=\boxed{\text{ウ}}y_{2}+\boxed{\text{エ}}$$
となる。
$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$ を満たしながら点 $P$ が曲線 $\ell_{1}:y=x^{3}-3x$ 上を動くとき、点 $Q$ は曲線 $\ell_{2}:y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 上を動く。ただし、$a=\boxed{\text{オ}},\ b=\boxed{\text{カ}},\ c=\boxed{\text{キ}},\ d=\frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}$ である。
このような関係があるとき、曲線 $\ell_{1}$ と曲線 $\ell_{2}$ は点 $A$ を相似の中心として相似の位置にあるといい、相似比は $1:2$ である。
曲線 $\ell_{1}$ と曲線 $\ell_{3}:y=\frac{1}{4}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}-\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}x-\frac{11}{4}$ が相似の位置にあるとき、3次の係数より相似比は $\boxed{\text{ス}}:1$ であり、相似の中心は点 $B(\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})$ である。
(3)(a) 初項1、公比 $-\frac{4}{5}$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とおくと、$S_{n}<\frac{1}{2}$ を満たす $n$ の最大値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。ただし、$\log_{10}2$ の小数点第4位までの近似値は0.3010である。
(b) 一般項が
$$a_{n}=\sin^{n}\left(\frac{2}{3}n\pi\right)$$
である数列 $\{a_{n}\}$ について、
$$\sum_{n=1}^{6}a_{n}=\frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}+\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}$$
である。また、
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\frac{\boxed{\text{ケコ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}+\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソ}}}$$
である。