III愛知医科大学 2023年 数学 第III問解答・解説

愛知医科大学 2023年度 医学部一般選抜 数学 III

球面は $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ である。点
$$\mathrm{P}_{0}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,0,\,\dfrac{1}{2}\right)$$
は単位球面上にある。球面の接平面は、半径方向 $\overrightarrow{\mathrm{OP}_{0}}$ に垂直なので
$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}z=1.\tag{1}$$
円板 $L$ はこの接平面内にあり、中心 $\mathrm{P}_{0}$、半径 1 である。

(1)

平面 (1) 上で高さ $z=t$ の点は
$$x=\dfrac{2-t}{\sqrt{3}}$$
を満たす。点 $(x,y,t)$ が円板内にある条件は
$$\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+y^{2}+\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\leqq 1.$$
$\delta=t-\dfrac{1}{2}$ とすると $x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\delta}{\sqrt{3}}$ なので、ある実数 $y$ が存在するための必要十分条件は
$$\dfrac{\delta^{2}}{3}+\delta^{2}\leqq 1$$
すなわち $|\delta|\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。したがって
$$\boxed{\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}.$$

(2)

高さ $t$ の点はすべて $x=\dfrac{2-t}{\sqrt{3}}$ を満たし、この値は上の範囲で正である。円板内では
$$y^{2}\leqq 1-\dfrac{4}{3}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}.$$
z 軸までの距離は $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ なので、最小は $y=0$ のときである。これが円板内に可能であることは、(1) で得た範囲の条件そのものである。よって
$$\boxed{d_{1}=\dfrac{2-t}{\sqrt{3}}}\qquad\left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right).$$

(3)

円 $C$ の半径は $r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。点 $\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くとき、その位置を
$$\mathrm{P}=\left(r\cos\varphi,\,r\sin\varphi,\,\dfrac{1}{2}\right)$$
と表す。$\vec{e}_{1}=(\cos\varphi,\sin\varphi,0)$、$\vec{e}_{2}=(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)$ とし、高さ $t$ にある点を
$$\mathrm{X}=q\vec{e}_{1}+s\vec{e}_{2}+t(0,0,1)$$
とする。接平面の式 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}=1$ より
$$q=\dfrac{1-t/2}{r}=\dfrac{2-t}{\sqrt{3}}.$$
これは z 軸からその水平断面の直線までの距離である。また、円板の中心 $\mathrm{P}$ からの距離の 2 乗は
$$|\overrightarrow{\mathrm{PX}}|^{2}=(q-r)^{2}+s^{2}+\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{4}{3}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+s^{2}.$$
円板内である条件は $|\overrightarrow{\mathrm{PX}}|^{2}\leqq 1$ である。従って
$$|s|\leqq h(t):=\sqrt{1-\dfrac{4}{3}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}}.$$
$\mathrm{P}$ が円 $C$ を一周すると $\varphi$ が全周を動くため、高さ $t$ の断面は内半径 $q$、外半径 $\sqrt{q^{2}+h(t)^{2}}$ の円環となる。断面積は
$$\pi\left\{(q^{2}+h^{2})-q^{2}\right\}=\pi\left\{1-\dfrac{4}{3}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right\}.$$
よって体積は
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_{\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}}^{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}\left\{1-\dfrac{4}{3}\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right\}dt\\ &=\pi\int_{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\left(1-\dfrac{4}{3}\delta^{2}\right)d\delta\\ &=\boxed{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\pi}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\left\{1-\frac{4}{3}{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2\right\}dt$$$$=\pi {\int }_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(1-\frac{4}{3}{\delta }^2\right)d\delta$$$$=\boxed{\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi }.$$