2秋田大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(ii) は 3 辺の直線の式を求め、三角形の内部の 1 点（重心など）を代入して不等号の向きを決める。(iii) は外心が辺 $\mathrm{BC}$ 上にあるとき $\mathrm{BC}$ が外接円の直径になり、$\angle\mathrm{A}=90^{\circ}$ となる。

(i)

線分 $\mathrm{AB}$ の中点は $(2,\,3)$、$\mathrm{AB}$ の傾きは $\dfrac{1}{2}$ だから、垂直二等分線は傾き $-2$ で
$$y-3=-2(x-2)\quad\text{すなわち}\quad y=-2x+7.$$

(ii)

直線 $\mathrm{AB}$ は $y=2x+2$、直線 $\mathrm{BC}$ は $y=x-2$、直線 $\mathrm{CA}$ は $y=-3x+2$ である。三角形の内部の点、たとえば重心 $\left(-1,\,-\dfrac{5}{3}\right)$ はそれぞれ $y<2x+2$、$y>x-2$、$y<-3x+2$ を満たすから、求める不等式は
$$y\geqq x-2,\quad y\leqq2x+2,\quad y\leqq-3x+2.$$

(iii)

外心が辺 $\mathrm{BC}$ 上にあるとき、外心は $\mathrm{B},\,\mathrm{C}$ から等距離なので $\mathrm{BC}$ の中点 $(1,\,-3)$ であり、$\mathrm{BC}$ は外接円の直径である。逆に、$\mathrm{A}$ が $\mathrm{BC}$ を直径とする円の上（$\mathrm{B},\,\mathrm{C}$ 以外）にあれば、外心は $\mathrm{BC}$ の中点で辺 $\mathrm{BC}$ 上にある。

$\mathrm{BC}^{2}=10^{2}+2^{2}=104$ より半径の 2 乗は 26 だから、求める軌跡は
円 $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=26$（ただし 2 点 $\mathrm{B}(-4,\,-2)$、$\mathrm{C}(6,\,-4)$ を除く）である。